Формула повороту Родрігеса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У теорії тривимірних обертань, формула повороту Родрігеса (названа на честь Олінда Родрігеса) — дієвий алгоритм для обертання вектора у просторі, по заданих осі та куту.

Якщо  — вектор у і  — одиничний вектор, що описує вісь обертання, навколо якої ми хочемо повернути на кут , то формула Родрігеса має вигляд:

Виведення[ред.ред. код]

Формула обертання Родрігеса обертає v на кут θ навколо осі z через розкладання його на складові паралельні і перпендикулярні до z, і, обертаючи тільки перпендикулярну складову

Для певної осі обертання z, яка представлена одиничним вектором k = (kX, kY, kZ), і вектором v = (vX, vY, vZ), який ми хочемо повернути, вектор

є складовою v паралельною до z, також відомою як проекція вектора v на k, і вектор

є проекцією v на площину xy ортогональну до z, відомою як відкидання вектора.

Зауважте, що ми вибрали систему відліку xyz, в якій z вісь вирівняна з віссю повороту, а x вісь з відкиданням вектора v від k. Це спрощує демонстрацію, бо це має на увазі, що v лежить у площині xz і його складова vy є нулем. Однак, xyz не збігається з XYZ в якій вектори v, k, vx і vz представлені. Наприклад, v = (vX, vY, vZ) ≠ (vx, vy, vz). Інакше кажучи, формула Родрігеса незалежна від орієнтації в просторі системи відліку XYZ у якій v і k представлені.

Далі

.

Зауважимо, що vx і w мають одну й ту саму довжину. За визначенням векторного добутку, довжина w становить:

де φ позначає кут між z і v. з того, що k має одиничну довжину,

Це збігається з довжиною vx, обрахованою тригонометрично так:

Отже w можна розглядати як копію vx обернуту на 90° навколо z. Використовуючи тригонометрію, ми можемо повернути vx на θ навколо z, щоб отримати vx rot. Його два компоненти щодо x і y є vxcosθ і wsinθ, відповідно. Таким чином,

vx rot також можна записати як проекцію на xy вектора, який ми повертаємо, vrot. Тому що поворот навколо z не зачіпає vz, другий компонент vrot (тобто проекція на z) збігається з vz. Отже,

як і вимагалось.

Матричний запис[ред.ред. код]

Через представлення v і k як вектори-стовпці і визначення матриці як матриці векторного добутку для , тобто,

,

Формулу Родрігеса можна записати так:

Використовуючи розклад потрійного векторного добутку, це можна записати як:

бо для нормалізованого вектора.

Остаточно, матриця повороту така:

Кватерніони і формула повороту[ред.ред. код]

Якщо ми хочемо повернути на кут навколо , тоді ми можемо записати це як кватерніон Це одиничний кватерніон.

Тоді , що після виконання множень переходить у формулу повороту Родрігеса.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]