Теорема про монотонний клас

Теорема про монотонний клас — твердження у теорії міри і теорії ймовірностей про рівність монотонного класу і σ-кільця породжених деяким кільцем множин.

Монотонний клас

Монотонним класом підмножин називається клас ${\mathcal {M}}$ підмножин деякої множини $\Omega$ , який є замкнутим щодо операцій зліченного об'єднання і зліченного перетину. А саме:

Якщо $A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {M}}$ і $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ тоді ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {M}},}$
Якщо $B_{1},B_{2},\ldots \in {\mathcal {M}}$ і $B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots$ тоді ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\in {\mathcal {M}}.}$

Твердження теореми

Нехай ${\mathcal {R}}$ є кільцем множин і $m({\mathcal {R}})$ позначає монотонний клас породжений цим кільцем тобто $m({\mathcal {R}})=\bigcap M({\mathcal {R}}),$ де перетин береться по всіх монотонних класах $M({\mathcal {R}}),$ що містять кільце ${\mathcal {R}}.$ Тоді $\sigma ({\mathcal {R}})=m({\mathcal {R}}),$ тобто $m({\mathcal {R}})$ є рівним σ-кільцю породженому ${\mathcal {R}}$ — перетину всіх σ-кілець, що містять ${\mathcal {R}}.$

Доведення

Нехай спершу ${\mathcal {R}}$ є водночас кільцем і монотонним класом. Тоді ${\mathcal {R}}$ є також σ-кільцем. Справді нехай $A_{n}\in {\mathcal {R}},\quad n\geqslant 1$ . Тоді із означення кільця випливає, що для кожного $n\geqslant 1$ множина $B_{n}=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {R}}.$ Також $B_{n}\subset B_{n+1}$ для кожного $n\geqslant 1$ і оскільки ${\mathcal {R}}$ є монотонним класом, то ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\in {\mathcal {R}}.}$ Але ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}.}$ Тому ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ і ${\mathcal {R}}$ є σ-кільцем.

У загальному випадку оскільки кожне σ-кільце є монотонним класом, то $m({\mathcal {R}})\subset \sigma ({\mathcal {R}}).$ Для доведення протилежного включення згідно попереднього достатньо довести,що також $m({\mathcal {R}})$ є кільцем.

Для довільної множини $E\in m({\mathcal {R}})$ позначимо:

${\mathcal {L}}(E)=\{C\subset \Omega \ |\ E\cup C,\ E\setminus C,\ C\setminus E\in m({\mathcal {R}})\}.$

Тоді:

Для кожного $E\in {\mathcal {R}}:\ {\mathcal {R}}\subset {\mathcal {L}}(E).$
Для кожного $F\in m({\mathcal {R}})$ сім'я множин ${\mathcal {L}}(F)$ є монотонним класом.

Перша властивість відразу випливає із того, що ${\mathcal {R}}$ є кільцем і ${\mathcal {R}}\subset m({\mathcal {R}})$ . Для другої властивості нехай $B_{n}\in {\mathcal {L}}(F),\quad n\geqslant 1$ і $B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdots$ . Тоді для $n\geqslant 1$ також $(B_{n}\cup F)\subset (B_{n+1}\cup F),$ $(B_{n}\setminus F)\subset (B_{n+1}\setminus F)$ і $(F\setminus B_{n+1})\subset (F\setminus B_{n}).$ Із того, що $\ F\cup C,\ F\setminus C,\ C\setminus F\in m({\mathcal {R}})$ і означення монотонного класу також

\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ \bigcup F=\bigcup _{n=1}^{\infty }(B_{n}\cup F)\in m({\mathcal {R}}).

\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ \setminus F=\bigcup _{n=1}^{\infty }(B_{n}\setminus F)\in m({\mathcal {R}}).

F\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ =\bigcap _{n=1}^{\infty }(F\setminus B_{n})\in m({\mathcal {R}}).

Відповідно $\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\in {\mathcal {L}}(F).$ Аналогічно доводиться і випадок перетину спадної послідовності, що доводить властивість 2.Оскільки для довільної множини $E\in {\mathcal {R}}$ згідно другої властивості сім'я множин ${\mathcal {L}}(E)$ є монотонним класом, який згідно першої властивості містить ${\mathcal {R}},$ то $m({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {L}}(E).$ Тому для кожної $A_{1}\in m({\mathcal {R}})$ і всіх $E\in {\mathcal {R}}$ також $E\cup A_{1},\ E\setminus A_{1},\ A_{1}\setminus E$ , відповідно для кожної $A_{1}\in m({\mathcal {R}})$ також $m({\mathcal {R}})\subset {\mathcal {L}}(A_{1}).$ Відповідно згідно означень для довільних $A_{1},A_{2}\in m({\mathcal {R}})$ множини $A_{1}\cup A_{2},\ A_{2}\setminus A_{1},\ A_{1}\setminus A_{2}$ теж належать $m({\mathcal {R}}).$ Відповідно $m({\mathcal {R}})$ є кільцем, а тому і σ-кільцем.