Теорема про монотонний клас

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема про монотонний клас — твердження у теорії міри і теорії ймовірностей про рівність монотонного класу і σ-кільця породжених деяким кільцем множин.

Монотонний клас

[ред. | ред. код]

Монотонним класом підмножин називається клас підмножин деякої множини , який є замкнутим щодо операцій зліченного об'єднання і зліченного перетину. А саме:

  1. Якщо і тоді
  2. Якщо і тоді

Твердження теореми

[ред. | ред. код]

Нехай є кільцем множин і позначає монотонний клас породжений цим кільцем тобто де перетин береться по всіх монотонних класах що містять кільце Тоді тобто є рівним σ-кільцю породженому — перетину всіх σ-кілець, що містять

Доведення

[ред. | ред. код]

Нехай спершу є водночас кільцем і монотонним класом. Тоді є також σ-кільцем. Справді нехай . Тоді із означення кільця випливає, що для кожного множина Також для кожного і оскільки є монотонним класом, то Але Тому і є σ-кільцем.

У загальному випадку оскільки кожне σ-кільце є монотонним класом, то Для доведення протилежного включення згідно попереднього достатньо довести,що також є кільцем.

Для довільної множини позначимо:

Тоді:

  1. Для кожного
  2. Для кожного сім'я множин є монотонним класом.

Перша властивість відразу випливає із того, що є кільцем і . Для другої властивості нехай і . Тоді для також і Із того, що і означення монотонного класу також

Відповідно Аналогічно доводиться і випадок перетину спадної послідовності, що доводить властивість 2.Оскільки для довільної множини згідно другої властивості сім'я множин є монотонним класом, який згідно першої властивості містить то Тому для кожної і всіх також , відповідно для кожної також Відповідно згідно означень для довільних множини теж належать Відповідно є кільцем, а тому і σ-кільцем.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграла, К.: Вища школа, с. 152, ISBN 5-11-001190-7