Теорема про монотонний клас — твердження у теорії міри і теорії ймовірностей про рівність монотонного класу і σ-кільця породжених деяким кільцем множин.
Монотонним класом підмножин називається клас
підмножин деякої множини
, який є замкнутим щодо операцій зліченного об'єднання і зліченного перетину. А саме:
- Якщо
і
тоді ![{\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {M}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8de334907a70f4435dbaac6e33ac812fe35a571)
- Якщо
і
тоді ![{\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\in {\mathcal {M}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c0e86e3152133479eba572eca9b1fb91898b57)
Нехай
є кільцем множин і
позначає монотонний клас породжений цим кільцем тобто
де перетин береться по всіх монотонних класах
що містять кільце
Тоді
тобто
є рівним σ-кільцю породженому
— перетину всіх σ-кілець, що містять
Нехай спершу
є водночас кільцем і монотонним класом. Тоді
є також σ-кільцем. Справді нехай
. Тоді із означення кільця випливає, що для кожного
множина
Також
для кожного
і оскільки
є монотонним класом, то
Але
Тому
і
є σ-кільцем.
У загальному випадку оскільки кожне σ-кільце є монотонним класом, то
Для доведення протилежного включення згідно попереднього достатньо довести,що також
є кільцем.
Для довільної множини
позначимо:
Тоді:
- Для кожного
![{\displaystyle E\in {\mathcal {R}}:\ {\mathcal {R}}\subset {\mathcal {L}}(E).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de4bdb47caccb797c64ea75069fe554ea0cc6d4)
- Для кожного
сім'я множин
є монотонним класом.
Перша властивість відразу випливає із того, що
є кільцем і
. Для другої властивості нехай
і
. Тоді для
також
і
Із того, що
і означення монотонного класу також
![{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ \bigcup F=\bigcup _{n=1}^{\infty }(B_{n}\cup F)\in m({\mathcal {R}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298f4c35b89ccb724b986b0713bcb6c3f60db3a8)
![{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ \setminus F=\bigcup _{n=1}^{\infty }(B_{n}\setminus F)\in m({\mathcal {R}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22f082adbf7315e292872cb7b84f03c4bab2798)
![{\displaystyle F\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}\ =\bigcap _{n=1}^{\infty }(F\setminus B_{n})\in m({\mathcal {R}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077514396dd9c17a35c9b0663b9e2381d6748b43)
Відповідно
Аналогічно доводиться і випадок перетину спадної послідовності, що доводить властивість 2.Оскільки для довільної множини
згідно другої властивості сім'я множин
є монотонним класом, який згідно першої властивості містить
то
Тому для кожної
і всіх
також
, відповідно для кожної
також
Відповідно згідно означень для довільних
множини
теж належать
Відповідно
є кільцем, а тому і σ-кільцем.
- Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграла, К.: Вища школа, с. 152, ISBN 5-11-001190-7