Кільце множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Непорожня система множин називається кільцем множин, якщо вона є замкнута щодо операцій об'єднання та перетину множин.

Тобто виконується:

Дана алгебраїчна структура не є алгебраїчним кільцем, а є дистрибутивною ґраткою.

Вищенаведене визначення задовільняють системи із однієї множини — сінглетони. Щоб уникнути цього, в теорії міри, кільцем множин називають непорожню систему множин, що є замкнутою відносно двох операцій:

  • операцій об'єднання та різниці множин:

Обидва визначення є строгішими ніж початкове, а також еквівалентними оскільки виражаються:

  • перше через друге:
  • друге через перше:

Властивості[ред.ред. код]

Поле множин[ред.ред. код]

Полем множин — називається кільце множин замкнуте відносно доповнення множин.

Поле множин ще називають алгеброю множин, хоча алгеброю множин частіше називають ту частину теорії множин, що вивчає властивості теоретико-множинних операцій.

Насправді, поле множин з точки зору абстрактної алгебри не є ні алгебраїчним полем, ні алгеброю над полем, а є булевим кільцем.

Сигма-алгебра[ред.ред. код]

  • Сигма-кільцем називається кільце, замкнуте відносно зліченного об'єднання елементів.
  • Дельта-кільцем називається кільце, замкнуте відносно зліченного перетину елементів.

Аналогічно визначається сигма-алгебра та дельта-алгебра (до речі, довільна дельта-алгебра є сигма-алгеброю і навпаки).

Теорема Стоуна[ред.ред. код]

  • Ґратка є дистрибутивною тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому кільцю множин.
  • Ґратка є булевою алгеброю тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому полю множин.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]