Кільце множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Непорожня система множин \mathcal{R} називається кільцем множин, якщо вона є замкнута відносно операцій об'єднання та перетину множин.

Тобто \forall A,B \in \mathcal{R} виконується:

  1. A \cup B \in \mathcal{R}
  2. A \cap B \in \mathcal{R}

Дана алгебраїчна структура не є алгебраїчним кільцем, а є дистрибутивною ґраткою.

Вищенаведене визначення задовільняють системи із однієї множини — сінглетони. Щоб уникнути цього, в теорії міри, кільцем множин називають непорожню систему множин, що є замкнутою відносно двох операцій:

  • операцій об'єднання та різниці множин:
  1. A \cup B \in \mathcal{R}
  2. A \setminus B \in \mathcal{R}
  1. A \cap B \in \mathcal{R}
  2. A \triangle B \in \mathcal{R}

Обидва визначення є строгішими ніж початкове, а також еквівалентними оскільки виражаються:

  • перше через друге:
    • A \cup B = (A \triangle B) \triangle (A \cap B)
    • A \backslash B = A \triangle (A \cap B)
  • друге через перше:
    • \ A \cap B = A \setminus (A \setminus B)
    • A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

Властивості[ред.ред. код]

A \cap (B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)

Поле множин[ред.ред. код]

Полем множин — називається кільце множин замкнуте відносно доповнення множин.

Поле множин ще називають алгеброю множин, хоча алгеброю множин частіше називають ту частину теорії множин, що вивчає властивості теоретико-множинних операцій.

Насправді, поле множин з точки зору абстрактної алгебри не є ні алгебраїчним полем, ні алгеброю над полем, а є булевим кільцем.

Сигма-алгебра[ред.ред. код]

  • Сигма-кільцем називається кільце, замкнуте відносно зліченного об'єднання елементів.
  • Дельта-кільцем називається кільце, замкнуте відносно зліченного перетину елементів.

Аналогічно визначається сигма-алгебра та дельта-алгебра (до речі, довільна дельта-алгебра є сигма-алгеброю і навпаки).

Теорема Стоуна[ред.ред. код]

  • Ґратка є дистрибутивною тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому кільцю множин.
  • Ґратка є булевою алгеброю тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому полю множин.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]