Сигма-алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множин, замкнена щодо операції зліченого об'єднання. Поняття сигма-алгебри має важливе значення для визначення мір множин, в математичному аналізі та теорії ймовірностей.

Визначення[ред.ред. код]

Кільцем множин називається система множин, замкнена стосовно операцій об'єднання, перетину, віднімання та симетричної різниці. Довільне кільце множин містить і порожню множину.

Одиницею кільця множин називається множина E, що належить до і для довільної множини виконується:

.

σ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин містить також їх об'єднання

.

δ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин містить також їх перетин:

.

Таким чином, σ-алгеброю множин називається σ-кільце множин з одиницею, а δ-алгеброю множин — δ-кільце з одиницею. Однак, кожна σ-алгебра є також δ-алгеброю, і навпаки.

Властивості[ред.ред. код]

Для довільної непорожньої системи множин існує неприводима (по відношенню до цієї системи) σ-алгебра , що містить і міститься в довільній σ-алгебрі, що містить .

Така σ-алгебра називається мінімальною.

Приклади[ред.ред. код]

Найпростішим прикладом σ-алгебри є система всіх підмножин деякої множини A.

Борелівські множини (або В-множини) це множини на числовій прямій, що належать мінімальній σ-алгебрі над сукупністю всіх сегментів .

Література[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.