Сигма-алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множин, замкнена щодо операції зліченого об'єднання. Поняття сигма-алгебри має важливе значення для визначення мір множин, в математичному аналізі та теорії ймовірностей.

Визначення[ред.ред. код]

Кільцем множин називається система множин, замкнена стосовно операцій об'єднання, перетину, віднімання та симетричної різниці. Довільне кільце множин містить і порожню множину.

Одиницею кільця множин \mathfrak{G} називається множина E, що належить до \mathfrak{G} і для довільної множини  A \in \mathfrak{G} виконується:

\ A \cap E = A .

σ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин A_1,\ldots,A_n,\ldots містить також їх об'єднання

\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n.

δ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин A_1,\ldots,A_n,\ldots містить також їх перетин:

\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.

Таким чином, σ-алгеброю множин називається σ-кільце множин з одиницею, а δ-алгеброю множин — δ-кільце з одиницею. Однак, кожна σ-алгебра є також δ-алгеброю, і навпаки.

Властивості[ред.ред. код]

Для довільної непорожньої системи множин \mathfrak{G} існує неприводима (по відношенню до цієї системи) σ-алгебра \mathfrak{B}(\mathfrak{G}), що містить \mathfrak{G} і міститься в довільній σ-алгебрі, що містить \mathfrak{G}.

Така σ-алгебра \mathfrak{B}(\mathfrak{G}) називається мінімальною.

Приклади[ред.ред. код]

Найпростішим прикладом σ-алгебри є система всіх підмножин деякої множини A.

Борелівські множини (або В-множини) це множини на числовій прямій, що належать мінімальній σ-алгебрі над сукупністю всіх сегментів [a; b].

Література[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]