Теорія ймовірностей

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія ймовірності — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості й операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірності описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.

Математичним апаратом теорії ймовірності є комбінаторика та теорія міри.

Теорія ймовірностей виникла і спершу розвивалася як прикладна дисципліна (зокрема, для розрахунків в азартних іграх). Пов’язана з іменами Х.Гюйґенса, Б.Паскаля, П.Ферма. Своїм теоретичним обґрунтуванням зобов’язана Я.Бернуллі, П.Лапласу, П.Л.Чебишову, А.М.Ляпунову.[1][2][3] Систему аксіом теорії ймовірностей сформулював А.М.Колмогоров.[4] Теорія ймовірностей є підґрунтям математичної статистики. Широко вживається для опису й вивчення різноманітних технологічних процесів зважаючи на їх стохастичність.

Історія[ред.ред. код]

Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх століть і першим спробам математичного аналізу азартних ігор. Спочатку її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних . Найранніші праці в галузі теорії ймовірностей належать до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні залежності, що виникають під час кидання гральних кубиків.

Вважають, що вперше Паскаль взявся за теорію ймовірностей під впливом питань, поставлених перед ним одним з придворних французького двору Шевальє де Мере (1607-1648), що був азартним гравцем, але гра для нього теж була приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонував Паскалю два відомі питання, перше з яких він спробував вирішити сам. Питання були такими:[5]

1. Скільки разів треба кинути два гральних кубика, щоб випадків випадання відразу двох шісток було більше половини від загальної кількості кидків?

2. Як справедливо розділити поставлені двома гравцями гроші, якщо вони з якихось причин припинили гру передчасно?

Ці задачі обговорювалися в листуванні Б. Паскаля і П. Ферма (1601-1665) і послужили приводом для запровадження поняття математичного очікування, і спроб формулювання основних теорем додавання й добутку ймовірностей. Під впливом поставлених і розглянутих питань вирішенням тих же задач займався і Християн Гюйгенс. Він не був знайомий із листуванням Паскаля та Ферма, тому методику розв'язку винайшов самостійно. Його працю, в якій запроваджено основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне сподівання для дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використані теореми додавання і множення ймовірностей (не сформульовані явно), було надруковано 1657 року, на двадцять років раніше листів Паскаля і Ферма (1679 рік).

Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі (1654-1705). Його праця «Мистецтва припущень» стала першим ґрунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Вона містила загальну теорію перестановок і поєднань. А сформульований Бернуллі закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю будь-якої випадкової події та частотою її появи, яка спостерігається безпосередньо з досвіду. У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел, центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасного вигляду теорія ймовірностей набула завдяки аксіоматизації, яку запропонував Андрій Миколайович Колмогоров.[6]

Значний внесок в теорію ймовірностей зробив українсько-російський математик, академік НАН України, директор Інституту математики НАНУ, лауреат премії імені П. Чебишева Гнєденко Борис Володимирович. Йому вдалося довести в остаточному формулюванні локальну граничну теорему для незалежних, однаково розподілених гратчастих доданків (1948 р.). В Україні він почав дослідження з непараметрическим методам статистики, закінчив роботу над підручником «Курс теорії ймовірностей»[7] (перше видання — 1949 р.) і монографією «Граничні розподіли для сум незалежних випадкових величин».

Врешті-решт теорія ймовірностей набула чіткого математичного вигляду й остаточно стала сприйматися як один з розділів математики.

Основні положення[ред.ред. код]

Під випробуванням мається на увазі здійснення запланованих дій і отримання результату за виконання певного комплексу умов S. При цьому припускається, що ці умови є фіксованими; вони або об'єктивно існують, або створюються штучно й можуть бути відтворені необмежену кількість разів.

Прикладами випробування: виготовлення деталі або виробу, кидання монети або грального кубика, розігрування лотереї, проведення аукціону.

Предметом дослідження теорії ймовірності є особливі залежності, притаманні результатам масових однорідних (для яких зберігається комплекс умов S) випробувань. При цьому досліджуються випробування, які характеризуються статистичною регулярністю, хоча наслідки випробувань у кожному випадку можуть бути різними.

Результатом випробування є подія. Події поділяються на: достовірні/правдиві (однозначно відбудуться) та неможливі, сумісні та несумісні, еквівалентні/тотожні та протилежні. Позначаються великими латинськими літерами, наприклад, А, B, С.

Основні об'єкти дослідження теорії ймовірностей:

  1. випадкова подія та її ймовірність;
  2. випадкова величина та її функція розподілу;
  3. випадковий процес та його ймовірнісна характеристика.

Поняття події краще розглядати в теоретико-множинному контексті.[Кому?]

Приклад[ред.ред. код]

Нехай події Ai, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) полягають у тому, що при одному киданні грального кубика випало i очок ; подія А - парна кількість очок. Тоді подія А є множиною подій, елементами якої є події A2, A4, A6, тобто A = {A2, A4, A6}. Якщо при реалізації такої сукупності умов S відбулася одна з подій A2, A4, A6, то це означає, що відбулася подія А (випала парна кількість очок). Отже події A2, A4, A6 є реалізаціями, проявами події А.

Теми теорії ймовірностей[ред.ред. код]

Особливість теорії ймовірностей[ред.ред. код]

  • У теорії ймовірностей випадкову змінну вважають відомою. [8]

Ця особливість відрізняє предмет і методи теорії ймовірностей від предмету і методів математичної статистики, де випадкову змінну досліджують після одержання статистичного матеріалу.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Hald, Anders (2003). A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 0-471-47129-1. (англ.)
  2. Hald, Anders (1998). A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930. New York: Wiley. ISBN 0-471-17912-4. (англ.)
  3. Гнєденко Б. В. Нарис з історії теорії ймовірностей // Курс теорії ймовірностей. — К.: Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2010. — 464с. С. 351—428.
  4. Колмогоров, А. Н. «Основные понятия теории вероятностей», М.: Наука, 1974 (рос.)
  5. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — Изд. 3-е. — М.: Наука, 1984. — 285 с.
  6. Колмогоров, А. Н. «Основные понятия теории вероятностей», М.: Наука, 1974 (рос.)
  7. Гнєденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. — К.: ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
  8. Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Підручник. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К.: Знання, 2007. — С. 291.

Література[ред.ред. код]

  • Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика. — 2-ге вид. — Київ: Знання, 2007. — 556 с.
  • Барковський В.В. Теорія ймовірностей та математична статистика. 5-те видання. — Київ: Центр учбової літератури, 2010. — 424 с.
  • Жлуктенко В. І. Теорія ймовірностей і математичниа статистика. У  2  ч.  — Ч. І.  Теорія  ймовірностей. — К.:  КНЕУ,  2000. — 304 с.
  • Жлуктенко В. І. Теорія ймовірностей і математичниа статистика. У  2  ч.  — Ч. II.  Математична  статистика. — К.:  КНЕУ,  2001. — 336 с.
  • Гнєденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. — К.: ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
  • Дороговцев А.Я Збірник задач з теорії ймовірностей. — К.: Вища школа, 1976. — 384 с.
  • Каленюк П.І. та ін. Теорія ймовірностей і математична статистика. - Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 2005. - 240 с.
  • Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика. Посібник з розвязання задач. — К.: Центр учбової літератури, 2007. — 576 с.

Посилання[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.
Основні розділи Математики
АлгебраДискретна математикаДиференціальні рівнянняГеометріяКомбінаторикаЛінійна алгебраМатематична логікаМатематична статистикаМатематичний аналізТеорія ймовірностейТеорія множинТеорія чиселТригонометріяМатематична фізикаТопологіяФункціональний аналізРекреаційна математика