Теорема про симплектичного верблюда

Теорема про симплектичного верблюда — одна з основних теорем в симплектичній геометрії. Теорема говорить, що кулю можливо вкласти в циліндр, зберігаючи природну симплектичну форму, тільки якщо радіус кулі не перевищує радіуса циліндра.

Історія

Доведено в 1985 році Михайлом Громовим. Ян Стюарт назвав цю теорему теоремою про симплектичного верблюда, посилаючись на біблійну притчу Лк. 18:25 верблюдові легше пройти через голчине вушко, ніж багатому в Боже Царство ввійти.

До появи цієї теореми було дуже мало відомо про геометрію симплектичних перетворень. Одна проста властивість симплектоморфізма полягає в тому, що він зберігає об'єм. Легко бачити, що куля будь-якого радіусу допускає вкладення в циліндр будь-якого радіусу зі збереженням об'єму. Таким чином, теорема про верблюда каже, що клас симплектичних перетворень істотно менше класу дифеоморфізмів, що зберігають об'єм.

Формулювання

У просторі

$\mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\}$

з симплектичною формою

$\omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\ldots +dx_{n}\wedge dy_{n}$

розглянемо кулю радіуса R

$B(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}\mid \|z\|<R\}$

і циліндр радіуса r

$Z(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}\mid x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<r^{2}\}.$

Теорема про симплектичного верблюда каже, що якщо ми можемо знайти симплектичне вкладення

$\phi \colon B(R)\to Z(r),$

то $R\leqslant r$.

Джерела

• Maurice A. de Gosson: The symplectic egg, arXiv:1208.5969v1, submitted on 29 August 2012 — includes a proof of a variant of the theorem for case of linear canonical transformations
• Dusa McDuff: What is symplectic geometry? [Архівовано 10 січня 2014 у Wayback Machine.], 2009