Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но — це формула для аналітичного розв'язку канонічного кубічного рівняння виду $x^{3}+px+q=0\!$. Вона має вигляд:

$x_{1}=^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.$

$x_{2,3}=-{\frac {1}{2}}\left(^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.\right)\pm {\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\left(^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.\right)$

Названа на честь італійського математика Джироламо Кардано, який і опублікував її вперше в 1545. Одразу після публікації Нікколо Тарталья звинуватив Кардано в плагіаті: останній у трактаті «Ars Magna» розкрив алгоритм розв'язання кубічних рівнянь, що його довірив йому Тарталья в 1539 році під обіцянку не публікувати. Хоча Кардано не приписував алгоритм собі і чесно повідомив у книзі, що авторами є Сціпіон дель Ферро і Тарталья, алгоритм сьогодні відомий під незаслуженою назвою «формула Кардано».

Виведення формули Кардано

Нехай дано рівняння $\ x^{3}+px+q=0$

Будемо шукати його розв'язок у вигляді $\ x=u+v.$

Отримаємо рівняння

$\ u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.$

Введемо додаткову умову для змінних $\ 3uv+p=0,$

утворену систему ${\begin{cases}u^{3}+v^{3}=-q\\u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}\end{cases}}$ розв'яжемо за допомогою формули Вієта для квадратного рівняння і отримаємо:

${\begin{cases}u^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {D}}\\v^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {D}}\end{cases}}$, де $D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}$ — дискримінант кубічного рівняння, звідки

${\begin{cases}u={}^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {D}}}}\\v={}^{3}\!\!{\sqrt {-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {D}}}}\end{cases}}$

Розв'язок рівняння подається у вигляді $x=u+v$. В комплексних числах кубічний корінь має 3 різних значення. Для отримання розв'язків потрібно вибирати такі пари значень кубічного кореня, щоб $uv=-{\frac {p}{3}}$. Таких пар обов'язково знайдеться рівно 3.

Див. також

• Кубічне рівняння
• Дискримінант
• Джироламо Кардано

Література

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Москва : Наука, 1973. — 832 с.(рос.)
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 138—139.