Час вільного падіння

Час вільного падіння — характерний час, який знадобився б тілу для колапсу під дією власної гравітації, якби не існувало інших сил, які б їй протидіяли. Він відіграє фундаментальну роль у встановленні часової шкали для різноманітних астрофізичних процесів, у яких гравітація відіграє домінуючу роль — від зореутворення до геліосейсмології та наднових.

Виведення

Падіння на точкову масу

Відносно просто отримати час вільного падіння, застосувавши третій закон Кеплера про рух планет до виродженої еліптичної орбіти. Розглянемо точкову масу $m$ на відстані $R$ від точкової маси $M$, які падають радіально одна на одну. Чисто радіальна траєкторія є прикладом виродженого еліпса з ексцентриситетом 1 і великою піввіссю $R/2$. За третім законом Кеплера, період обертання по орбіті залежить лише від великої півосі і не залежить від ексцентриситету. Отже, час, який знадобиться тілу, щоб впасти всередину і потім повернутися у вихідне положення, дорівнює періоду на круговій орбіті радіусом $R/2$, який за третім законом Кеплера становить

$$t_{\text{orbit}}={\frac {2\pi }{\sqrt {G(M+m)}}}\left({\frac {R}{2}}\right)^{3/2}={\frac {\pi R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)}}}.$$

Якби падаюче тіло здійснило повний оберт по орбіті, воно б почало рух на відстані $R$ від маси $M$, впало на його центр, а потім повернулось у вихідне положення. У реальних системах маса $M$ не є справді точковою, і падаюче тіло зрештою стикається з її поверхнею. Таким чином, воно проходить лише половину орбіти. Але орбіта симетрична, тому час вільного падіння становить половину періоду.

$$t_{\text{ff}}=t_{\text{orbit}}/2={\frac {\pi }{2}}{\frac {R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)}}}$$

Альтернативним виведенням цієї формули є інтегрування рівняння руху падаючого тіла, яке, звісно, приводить до того ж результату.

Колапс сферично-симетричного розподілу маси

Тепер розглянемо випадок, коли маса $M$ не є точковою масою, а розподілена сферично-симетрично відносно центру із середньою густиною $\rho$ ,

$$\rho ={\frac {3M}{4\pi R^{3}}},$$

де об'єм кулі дорівнює ${\textstyle {{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}.}$

Припустимо, що єдиною діючою силою є гравітація. Тоді, як вперше було доведено Ньютоном (і це можна легко показати за допомогою формули Остроградського), прискорення сили тяжіння на будь-якій даній відстані $R$ від центру сфери залежить лише від загальної маси, що міститься всередині $R$. Наслідком цього результату є те, що кожна сферична оболонка кулі падає під дією маси лише внутрішніх оболонок, так, ніби вся ця внутрішня маса була б сконцентрована в центрі. У результаті час вільного падіння пробної частинки з радіуса $R$ можна виразити виключно через загальну масу $M$ всередені цього радіуса. В термінах середньої густини всередені радіеса $R$, час вільного падіння дорівнює

$$t_{\text{ff}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}\simeq 0.5427{\frac {1}{\sqrt {G\rho }}}\simeq 66430\,{\frac {1}{\sqrt {\rho }}}$$

де остання формула дана в одиницях СІ.

Цей результат такий саме, як і формула в попередньому розділі, коли $M\gg m$.

Застосування

Час вільного падіння є дуже корисною оцінкою характерної шкали часу для низки астрофізичних процесів. Щоб отримати уявлення про його величину, можна написати

$$t_{\text{ff}}\simeq {\frac {35\,{\mbox{min}}}{\sqrt {\rho \ ({\mbox{g}}\cdot {\mbox{cm}}^{-3})}}}$$

Тут було враховано, що час вільного падіння становить приблизно в 35 хвилин для тіла середньої густини 1 г/см³.

Іншим цікавим прикладом є час падіння на Сонце об'єкта з орбіти Землі, на якій період обертання складаю періодом $P=1$ рік. За формулою для часу падіння на точкову масу, отримуємо

$${\frac {1}{2}}{\frac {P}{2^{3/2}}}={\frac {P}{\sqrt {32}}}.$$

Це приблизно 64,6 дня.

Література

• Galactic dynamics Binney, James; Tremaine, Scott. Princeton University Press, 1987.