Числа Піфагора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Теорема Піфагора: a2 + b2 = c2

Числа Піфагора (піфагорова трійка) складаються з трьох натуральних чисел a, b і c, таких що a2 + b2 = c2. Ці числа зазвичай записують в такому вигляді (abc), і найвідоміший приклад (3, 4, 5). Якщо (abc) числа Піфагора, тоді і (ka, kb, kc) також для будь-якого цілого додатнього k. Примітивними Піфагоровими числами називають взаємно прості a, b й c.

Назву свою числа отримали через теорему Піфагора, для якої ці числа є розв'язком. Але не всі розв'язки теореми є Піфагоровими числами. Наприклад, трикутник зі сторонами a = b = 1 і c = √2 прямокутний, але (1, 1, √2) не є піфагоровими числами, тому що √2 — не натуральне число. Більше того, 1 і √2 не мають цілого спільного кратного, тому що √2 ірраціональне число. Для c ≤ 100 є лише 16 примітивних Піфагорових трійок:

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (8, 15, 17)
(9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85)
(16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65)
(36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)


Загальні формули[ред.ред. код]

За допомогою простих арифметичних обчислень неважко перевірити, що для довільних цілих m>n числа

a=m^2-n^2\,
b=2\cdot m\cdot n\,
c=m^2+n^2\,

є числами Піфагора. Вони будуть примітивними, якщо й тільки якщо m і n взаємно прості й одне з них парне (якщо б обидва були непарними, тоді числа a, b і c були б парними, а значить, трійка не була б примітивною). З іншого боку можна довести, що всі примітивні числа Піфагора можна задати подібним чином. Справді, нехай a, b,c — деякі примітивні числа Піфагора. Вочевидь, два з них мають бути непарними, а одне — парним. Доведемо, що випадок, коли a, b — непарні, а c — парне неможливий. Справді, якщо c є парним, то c2 ділиться на 4, тоді як a2 + b2 =(2p+1)2 + (2q+1)2 =4p2+4p+1+4q2+4q+1 при діленні на 4 дає в остачі 2. Отже, припустимо, що a, c- непарні, а b — парне. Записавши a2 - c2 = b2 і враховуючи a2 - c2 = (a+с)(a-с) ділячи на 4 остаточно, одержуємо:

\frac{c - a}{2}\cdot\frac{c + a}{2} = \left( \frac{b}{2}\right) ^2

У попередній формулі множники в лівій частині є взаємно простими. Інакше їх спільний дільник був би спільним дільником і для a,c, а значить і для b, що неможливо. Оскільки два множники взаємно прості, а їх добуток є квадратом цілого, то кожне з цих чисел є квадратом цілого.

Якщо покласти

\frac{c+a}{2}=m^2
\frac{c-a}{2}=n^2,

то вирази для a, b, c через m, n саме і будуть шуканими формулами.

Посилання[ред.ред. код]

  • Числа Піфагора на сайті MathWorld
  • В.Литцман Теорема Пифагора. — М. : Физматлит, 1960.
  • В. Н. Серпинский Пифагоровы треугольники. — М. : Учпедгиз, 1959.