Число обертання

У теорії динамічних систем, галузі математики, число обертання гомеоморфізму кола, що зберігає орієнтацію, - середнє "число обертів на одну ітерацію" при тривалому ітеруванні точки. Точніше, це границя відношення (у певний спосіб визначеного) "числа обертів" до кількості ітерацій.

Визначення

Для формального визначення замість гомеоморфізму кола $f:S^{1}\to S^{1}$ розглядають його підняття $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ для накриття кола прямою $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ . Число зсуву цього підняття визначають як границю

$\tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}},$

де $x\in \mathbb {R}$ - довільна точка. Число обертання f тоді визначають як

$\rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ .

Властивості

• Число обертання є інваріантом топологічного спряження, що зберігає орієнтацію, і навіть напівспряження відображеннями степеня 1: якщо $h:S^{1}\to S^{1}$ - відображення степеня 1, таке, що $f\circ h=h\circ g$, де $f,g$ — гомеоморфізми кола, числа обертання $f$ і $g$ збігаються.
• Як стверджує теорема Пуанкаре, число обертання раціональне тоді й лише тоді, коли відображення має періодичну точку.
• Теорема Данжуа стверджує, що якщо відображення $f$ — C²-гладке, а його число обертання $\rho (f)$ ірраціональне, то $f$ спряжене повороту на $\rho (f)$.
• Число обертання неперервно залежить від гомеоморфізму - відображення $\rho :Homeo(S^{1})\to S^{1}$ неперервне.

Література

• Каток А. Б., Хассельблат Б.. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М. : Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.