Розбиття одиниці

Розбиття одиниці — конструкція, що використовується в топології і диференціальній геометрії для зручності роботи з многовидами як множиною карт. З допомогою розбиття одиниці можна ввести Ріманову метрику на паракомпактному многовиді, як і означити інтеграл від диференціальної форми.

Конструкція

Нехай маємо локально-скінченне покриття $\{O_{\alpha }\}$ многовиду $M$, розбиттям одиниці по відношенню до $\{O_{\alpha }\}$ називається такий набір невід'ємних гладких функцій $\{f_{\alpha }\}$, для яких виконуються такі умови:

1. Опора функції $f_{\alpha }$ ( замикання множини всіх точок, де функція не рівна нулю) міститься в $O_{\alpha }$;
2. $0\leq f_{\alpha }\leq 1$;
3. Для будь-якої точки многовиду $x\in M$ маємо $\ \sum _{\alpha }{f_{\alpha }(x)=1}$.
   

Література

• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.