Диференціальна форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диференціальна форма порядку або -форма — кососиметричне тензорне поле типу на дотичному розшаруванні многовиду.

Диференціальні форми були введені французьким математиком Елі Картаном на початку XX століття.

Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, симплектичній геометрії, квантовій теорії поля.

Простір -форм на многовиді звичайно позначають .

Визначення[ред.ред. код]

Інваріантне[ред.ред. код]

У диференціальній геометрії, диференціальна форма степеня  — це гладкий перетин -ого зовнішнього степеня кодотичного розшарування многовиду.

Нехай M — гладкий многовид, TpM — дотичний простір многовиду M в точці p, T*pM — кодотичний простір многовиду M в точці p.

Позначимо  — векторний простір знакозмінних, лінійних за всіма елементами відображень виду:

Тоді диференціальна k-форма це відображення:

в довільній точці pM, при чому

де  — довільні гладкі векторні поля.

Іноді у визначенні диференціальних форм не вимагається гладкості. Форми, що задовольняють ці додаткові умови називають тоді гладкими диференціальними формами.

Через локальні карти[ред.ред. код]

Якщо  — локальна система координат у області , то форми утворюють базис в кодотичному просторі . Тому будь-яка зовнішня p — форма а записується в U у вигляді

де  — гладкі функції  — диференціал -ої координати (функція від вектора, що визначає його координату з номером  ), а  — зовнішній добуток. При зміні координат, це подання змінюється.

На гладкому многовиді, к-форми можуть бути визначені як форми на картах, які узгоджені на склеюваннях.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

Зовнішня похідна[ред.ред. код]

Докладніше: Зовнішня похідна

Лінійне відображення називається зовнішньою похідною якщо:

  1. Для воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
  2. Для будь-якої форми виконується рівність .

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним. У локальних координатах зовнішній диференціал можна записати за допомогою формули:

  • Диференціальна форма називається замкнутою, якщо її зовнішня похідна рівна 0.
  • k-форма називається точною, якщо її можна представити як диференціал деякої (k-1) -форми.
  • Факторгрупа замкнутих k-форм по точних k-формах називається -мірною групою когомологій де Рама. Теорема де Рама стверджує, що вона ізоморфна k-мірній групі сингулярних когомологій.
  • Внутрішньою похідною форми по векторному полю називається форма

Властивості[ред.ред. код]

  • Для диференціалів диференціальних форм векторного поля справедливо:
  • Диференціальну форму можна розглядати як поле полілінійних кососиметричних функцій від векторів.
  • Внутрішнє диференціювання лінійно і задовольняє градуйованому правилу Лейбніца. Воно пов'язане із зовнішнім диференціюванням і похідною Лі формулою гомотопії:

Алгебраїчні операції[ред.ред. код]

Диференціальні форми порядку задані у диференціальному многовиді утворюють модуль над кільцем . Зокрема для диференціальних форм порядку визначені додавання і множення на функцію :

 ;
.
Зовнішній добуток 
Зовнішній добуток форм і порядків і визначається за допомогою наступної формули :
,
де позначає знак перестановки і сума береться по всіх перестановках чисел . Результатом добутку є диференціальна форма порядку .

З визначеними алгебраїчними операціями множина , є градуйованою алгеброю, що задовольняє градуйованому закону комутативності: для форм і порядків і , Виконується

.

Зворотний образ[ред.ред. код]

Якщо відображення є гладким,  — диференціальна форма порядку на многовиді , тоді можна визначити диференціальну форму порядку визначену на :

.

Дане відображення задовольняє рівностям:

де  — диференціальні форми на N, а g — функція визначена на N.

Отже відображення визначає гомоморфізм градуйованих алгебр.

Дане відображення також можна записати у локальних координатах. Нехай x1, …, xm — координати на M, that y1, …, yn — координати на N, і ці координати пов'язані рівностями yi = fi(x1, …, xm) для всіх i. Тоді, локально на N, ω можна записати як

де, для довільного вибору i1, …, ik,  — дійсна функція змінних y1, …, yn. З властивостей зворотного образу одержується формула для f*ω :

Кожна зовнішня похідна dfi може бути записана в термінах dx1, …, dxm. Відповідна k-форма може бути записана за допомогою матриці Якобі:

Інтегрування[ред.ред. код]

Нехай

диференціальна форма і S — диференційовний многовид параметризований в деякій області :

. Тоді можна визначити інтеграл:

де

 — визначник матриці Якобі.

Теорема Стокса[ред.ред. код]

Теорема Стокса є основою для більшості застосувань диференціальних форм:

Якщо  — n−1-форма з компактним носієм у M і ∂M границя многовиду M з індукованою орієнтацією, то виконується рівність:

Частковими випадками цієї загальної теореми є основна теорема аналізу, теорема Гауса — Остроградського, теорема Гріна і звичайна теорема Стокса про зв'язок лінійного і поверхневого інтегралів.

Приклади[ред.ред. код]

  • З погляду тензорного аналізу, 1-форма є не що інше як ковекторное поле, тобто 1 раз коваріантний тензор, заданий в кожній точці многовиду і що відображає елементи дотичного простору у множину дійсних чисел :
  • Форма об'єму — приклад -форми на -мірному многовиді.
  • Симплектична форма — замкнута 2-форма на -многовиді, така що .

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • В. А. Зорич, Математический анализ, Т. 1,2. М. Наука, 1981
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
  • У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.
  • Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
  • Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
  • Weintraub, Steven (1997), Differential forms : a complement to vector calculus,Academic Press, Inc. ISBN 0-12-742510-1