Регулярний ідеал

В абстрактній алгебрі регулярний ідеал (також модулярний ідеал)— правий (лівий) ідеал ${\mathfrak {i}}$ кільця R з властивістю: у кільці R знайдеться хоч би один такий елемент e, що для всіх елементів $x\in R$ виконується $ex-x\in {\mathfrak {i}}$ (відповідно $xe-x\in {\mathfrak {i}}$). Елемент e називається лівою (правою) одиницею по модулю ідеалу ${\mathfrak {i}}$.

Двосторонній ідеал $R{\mathfrak {i}}$ є регулярним тоді і тільки тоді коли фактор-кільце $A/{\mathfrak {i}}$ є кільцем з одиницею. У кільці з одиницею e для довільного ідеалу ${\mathfrak {i}}$ виконується $ex-x=0\in {\mathfrak {i}}$ і $xe-x=0\in {\mathfrak {i}}$ для кожного $x\in R$, тобто довільний ідеал кільця з одиницею є регулярним.

Довільний власний регулярний правий (лівий) ідеал можна вкласти в максимальний правий (лівий) ідеал, який автоматично буде регулярним.

Перетин усіх максимальних регулярних правих ідеалів асоціативного кільця збігається з перетином усіх максимальних регулярних лівих ідеалів і є радикалом Джекобсона цього кільця.

Приклади

• В кільці парних цілих чисел (кільце без одиниці), ідеал (6) є регулярним ($e=4$) тоді як ідеал (4) не є регулярним.

Джерела

• Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ.,М.: 1961.