Многовид Ілса — Кейпера

Многовидом Ілса — Кейпера називається компактифікація евклідового простору $\mathbb {R} ^{n}$ сферою $S^{\frac {n}{2}}$, де n = 2, 4, 8, та 16.

• n = 2: многовид Ілса — Кейпера дифеоморфний дійсній проективній площині $\mathbb {R} P^{2}$.

Для $n\geq 4$ він є однозв'язним і має когомологічну структуру

• $n=4$: комплексної проективної площини $\mathbb {CP} ^{2}$,
• $n=8$: кватерніонної проективної площини $\mathbb {H} P^{2}$,
• n = 16: проективної площини Келі $\mathbb {O} P^{2}$.

Многовиди Ілса — Кейпера грають важливу роль у теорії Морса і в теорії шарувань.

Властивості

• Теорема Ілса — Кейпера. Нехай $M$ зв'язний замкнутий многовид розмірності $n$ (не обов'язково орієнтовний). Припустимо, на $M$ існує функція Морса $f:M\to R$ класа гладкості $C^{3}$, що має рівно три критичні точки. Тоді $n=$2, 4, 8 або 16 і $M$ є многовидом Ілса — Кейпера.

• Теорема: Нехай $M^{n}$ компактний зв'язний многовид, на якому задано морсовське шарування $F$. Припустимо, що число $c$ центрів шарування $F$ більше числа сідлових точок $s$. Тоді існує рівно дві можливості:
  • $c=s+2$, у цьому випадку $M^{n}$ гомеоморфно сфері $S^{n}$,
  • $c=s+1$, у цьому випадку $M^{n}$ є многовидом Ілса — Кейпера, причому $n=2,4,8$ і $16$.

Див. також

• Теорема Ріба про сферу
• Теорія Морса