Сфера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Сфера
Радіус r сфери

Сфе́ра (від грец. σφαῖρα — куля) — замкнута поверхня, геометричне місце точок рівновіддалених від даної точки, що є центром сфери. Сфера є окремим випадком еліпсоїда, у якого всі три півосі однакові.

Властивості[ред.ред. код]

Відрізок, що сполучає центр сфери з її точкою, а також його довжина, називається радіусом; відрізок, що сполучає дві точки сфери — хордою; хорда, що проходить через центр сфери називається її діаметром. Сферу можна розглядати також як поверхню обертання півкола навколо його діаметра. Частина простору, яка обмежена сферою і містить її центр, називається кулею. Переріз сфери довільною площиною є коло. Воно називається великим, коли площина проходить через центр сфери, всі інші перерізи є малими колами.

У сфери найменша площа поверхні з-поміж всіх тіл, що замикають даний об'єм, та найбільший замкнений об'єм при даній площі поверхні. З цієї причини, сфера часто зустрічається у природі: краплі води в невагомості, планети, глобули і т.ін.

Площину (пряму), яка має зі сферою тільки одну спільну точку, називають дотичною площиною (прямою) до сфери. Якщо дві сфери мають тільки одну спільну точку, говорять, що вони дотикаються в цій точці.

Рівняння[ред.ред. код]

У аналітичній геометрії сфера у декартовій системі координат з координатами центру О(x0, y0, z0) і радіусом r є геометричним місцем усіх точок (x, y, z), що описується рівнянням:

У сферичній системі координат будь-яку точку сфери можна подати як

Сфера довільного радіусу з центром у початку координат задається диференціальним рівнянням:

Це рівняння відображає факт, що вектори швидкості та координат точки, що рухається по поверхні сфери постійно ортогональні один до одного.

Тензор Річчі та скалярна кривина сфери[ред.ред. код]

Геометрію сфери можна просто описати, представивши її вкладеною в фіктивний чотиривимірний простір:

.

Введенням координат

можна задовольнити , а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою)

.

Як видно, метричний тензор має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій — від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, певною мірою, відповідає ізотропії простору.

Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз

,

де метричний тензор має вигляд

,

для частинних випадків виразів можна отримати

;

;

оскільки, в силу структури метричних тензорів, ;

;

.

Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензору Річчі: маючи загальне визначення,

,

та вирази ,

для тензора можна отримати (сума лише по індексам )

.

Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензору Річчі до метрики сферичного простору. Треба обчислити компоненти . Спочатку доведеться отримати, користуючись , явний вигляд для символів Кристоффеля:

,

,

,

,

,

.

Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та , має вираз

.

Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попередній) дають

.

Отже, для сфери

.

Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для сфери скалярна кривина рівна

.

Отже, сферичний простір — простір з постійною додатньою скалярною кривиною.

Формули[ред.ред. код]

Площа поверхні
Замкнений об'єм
Об'єм сегмента
Момент інерції

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — 4-е. — М.: Наука, 1978. — 277 с.
  • Геометрія. 10-11 класи [Текст] : пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.]. — Тернопіль: Навчальна книга-Богдан, 2003. — 264 с. — ISBN 966-692-161-8