Компактифікація

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Компактифіка́ція — операція в загальній топології, яка перетворює довільні топологічні простори у компактні.

Формально компактифікація простору визначається як пара , де — компактний простір, гомеоморфізм на свій образ і — щільний у .

На компактифікаціях деякого фіксованого простору можна визначити частковий порядок. Покладемо для двох компактифікацій , , якщо існує неперервне відображення таке, що . Максимальний (із точністю до гомеоморфізму) елемент за цього порядку називається компактифікацією Стоуна — Чеха[1] і позначається . Для того, щоб у просторі існувала компактифікація Стоуна — Чеха, яка задовольняла б аксіомі віддільності Хаусдорфа, необхідно і достатньо, щоб задовольняв аксіомі віддільності , тобто був цілком регулярним.

Одноточкова компактифікація (або компактифікація Александрова) побудована наступним чином. Нехай і відкритими множинами в вважаються всі відкриті множини , а також множини вигляду , де має компактне (у ) доповнення. береться як природне вкладення в . Тоді — компактифікація, причому гаусдорфів тоді і тільки тоді, коли гаусдорфів і локально компактний.

Приклади одноточкової компактифікації[ред.ред. код]

з топологією, побудованою як зазначено вище, є компактним простором. Якщо два простори гомеоморфні, то й відповідні одноточкові компактифікації гомеоморфні[Джерело?]. Зокрема, так як коло на площині без однієї точки гомеоморфне з (приклад гомеоморфізму — стереографічна проекція), усе коло гомеоморфне з . Аналогічно, гомеоморфне з -вимірною гіперсферою.

Посилання[ред.ред. код]

  1. Також «стоун-чехівська компактифікація» и «чех-стоунова компактифікація».

Див. також[ред.ред. код]