Переріз Дедекінда

Перевірена версія цієї сторінки, затверджена 19 лютого 2018, заснована на цій версії.

Переріз Дедекінда — це конструкція з математичного аналізу, запропонована Ріхардом Дедекіндом, за допомогою якої надається математично строге визначення дійсних чисел.

Визначення

Переріз Дедекінда — це розбиття множини усіх раціональних чисел $\mathbb {Q}$ на дві непорожні підмножини A та B із властивостями, що A не має найбільшого елемента і будь-яке число з множини A менше від будь-кого числа з множини B. Множина A називається нижнім класом перерізу, а множина B — верхнім класом перерізу.

Будь-яке раціональне число x призводить до переріза Дедекінда, у якому

A=\{a\in \mathbb {Q} :a<x\},\quad B=\{b\in \mathbb {Q} :b\geq x\}.

Оскільки множина B повністю визначена множиною A, а саме, B = Q\A, визначення переріза Дедекінда часто надається в термінах нижнього класу. Таким чином, переріз Дедекінда — це множина A раціональних чисел із властивостями:

A непорожня, $A\neq \emptyset ;$
А не становить всю множину раціональних чисел, $A\neq \mathbb {Q} ;$
А замкнута знизу, тобто якщо $a\in A$ та $~c<a,$ то $c\in A;$
А не має найбільшого елемента, тобто для будь-якого $a\in A$ знайдеться $c\in A,c>a.$

Перерізи Дедекінда утворюють множину R, на якій можуть бути визначені операції додавання та множення, а також поняття порядку. Таким чином множина R перетворюється на упорядковане поле дійсних чисел. Якщо у верхньому класі є найменше число, то такий переріз відповідає раціональному числу, у супротивному випадку — ірраціональному числу.

Приклади

Дійсному числу ${\sqrt {2}}$ відповідає наступний дедекіндовий переріз: $A=\{a\in \mathbb {Q} :a\leqslant 0\lor a^{2}<2\}$ та $B=\{b\in \mathbb {Q} :b>0\land b^{2}\geqslant 2\}\,$ . Інтуїтивно можна представити, що для визначення ${\sqrt {2}}$ , ми розділили множину раціональних чисел на дві частини: всі числа, що лівіше ${\sqrt {2}}$ , та всі числа, що правіше ${\sqrt {2}}$ ; тобто, ${\sqrt {2}}$ є точною нижньою гранню множини $~B.$