Екситон Френкеля

Екситон Френкеля або екситон малого радіуса — електронне збудження в кристалі, що не переносить електричного струму, граничний випадок екситона. Електрон та дірка, що складають екситон Френкеля, належать одному вузлу або сусіднім вузлам кристаличної ґратки, таким чином, радіус екситона становить величину того ж порядку, що й період ґратки.

Екситони Френкеля характерні для молекулярних кристалів, органічні молекули яких слабо взаємодіють між собою в основному стані й доволі сильно в збудженому. Цим забезпечується можливість вільної міграції збудження від однієї молекули до іншої.

Екситонами Френкеля є також збудження кріокристалів.

Зазвичай екситони Френкеля формують вузьку екситонну зону й мають доволі значну ефективну масу.

Названий на честь радянського фізика Якова Ілліча Френкеля.

Теорія

Нехай молекули в кристалі розташовані періодично, і кожну з них можна описати як дворівневу систему з основним і збудженим станом, хвильові функції яких $\phi ^{0}$ та $\phi ^{1}$, відповідно. Гамільтоніан кристалу має вигляд

${\hat {H}}=\sum _{n}{\hat {H}}_{n}^{0}+{\frac {1}{2}}\sum _{n,m}{\hat {V}}_{n,m}$,

де ${\hat {H}}_{n}^{0}$ - гамільтоніан окремої молекули, розташованої в n-му вузлі ґратки.

Хвильову функцію системи шукають у вигляді

$\psi _{\mathbf {k} }=\sum _{\mathbf {n} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {n} }\psi _{\mathbf {n} }=\sum _{\mathbf {n} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {n} }\phi _{\mathbf {n} }^{1}\prod _{m\neq n}\phi _{\mathbf {n} }^{0}$.

Енергія такого збудження дорівнює

$E_{\mathbf {k} }=E_{0}+D_{f}+L_{f}(\mathbf {k} )$,

де $E_{0}$ - енергія збудження ізольованої молекули,

$D_{f}=\sum _{\mathbf {m} }\left[\int |\phi _{m}^{1}|^{2}V_{m,n}|\phi _{n}^{0}|^{2}d\tau -\int |\phi _{m}^{0}|^{2}V_{m,n}|\phi _{n}^{0}|^{2}d\tau \right]$

є енергією взаємодії збудженої молекули з незбудженими сусідами, а

$L_{f}(\mathbf {k} )=\sum _{\mathbf {m} }e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {m} -\mathbf {n} )}\int \phi _{m}^{1*}\phi _{n}^{0*}V_{m,n}\phi _{m}^{0}\phi _{m}^{1}d\tau$

є матричним елементом переносу збудження з m-тої молекули на n-ту.

Завдяки періодичності кристалу вказані суми не залежать від n, а тому $\psi _{\mathbf {k} }$ є розв'язком задачі. $E_{\mathbf {k} }$ задає неперервний спектр збудженнь.

Див. також

• Екситон Ваньє-Мотта
• Давидівське розщеплення

Джерела

• Давыдов А. С. Теория молекулярных экситонов. — М. : Наука, 1968. — 296 с.