Гамільтоніан

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Гамільтоніан \hat H в квантовій теорії — це оператор повної енергії системи. Його спектр визначає усі можливі значення енергії квантової системи, які можна отримати при вимірюванні. Для більшості формалізмів квантової механіки (зокрема, картини Шредінгера, Гейзенберга та інші) гамільтоніан грає ключову роль, оскільки він безпосередньо пов'язаний із еволюцією квантової системи.

Назва «гамільтоніан» (як і назва «функція Гамільтона») походить від прізвища ірландського математика Вільяма Ровена Гамільтона.

Значення[ред.ред. код]

Гамільтоніан квантової системи складається з суми кінетичних енергій всіх частинок, що складають цю систему, та її потенціальної енергії. Саме в такому вигляді він входить в основне рівняння еволюції квантовомеханічної системи — рівняння Шредінгера.

Спектр гамільтоніана визначає можливі значення енергій квантовомеханічної системи, а його власні функції — можливі хвильові функції стаціонарних станів.

Побудова[ред.ред. код]

Одночастинковий випадок[ред.ред. код]

Гамільтоніан будується аналогічно до функції Гамільтона класичної механіки, яка є сумою кінетичної та потенціальної енергій системи:

\hat{H} = \hat{T} + \hat{V},

де

\hat{T} = \frac{\hat{\bold{p}} \cdot \hat{\bold{p}}}{2m} = \frac{\hat{p}^2}{2m} — оператор кінетичної енергії;
\hat{V} = V(\bold{q},t) — оператор потенціальної енергії.

До оператора кінетичної енергії входить оператор імпульсу, що виглядає так:

\hat{\bold{p}} = -i\hbar \nabla,
\hat{p}^2 = -\hbar^2 \nabla^2,

де \nabla — градієнт, а \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla — лапласіан, що має наступний вигляд у декартових координатах:

\nabla^2 = \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial z}^2}.

Отже, використовуючи ці оператори, можна записати гамільтоніан в розгорнутій формі, яка використовується в рівнянні Шредінгера:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\bold{q},t).

Отже, для побудови гамільтоніана достатньо взяти класичну функцію Гамільтона \mathcal{H}(\bold{p}, \bold{q}) і замінити в ній імпульси на відповідні оператори. Таке визначення гамільтоніану можна застосовувати до систем, що описуються деякою хвильовою функцією \psi(\bold{q},t), і воно часто використовується у ввідних курсах квантової механіки при описі хвильової механіки Шредінгера.

Багаточастинковий випадок[ред.ред. код]

Попередні міркування можна поширити на випадок системи N частинок:

\hat{H} = \sum\limits_{n=1}^N \hat{T}_n + \hat{V},

де

\hat{V} = V(\bold{q}_1,\bold{q}_2,...,\bold{q}_N,t) — оператор потенціальної енергії, яка тепер є функцією часу та просторової конфігурації системи (просторова конфігурація є набором положень у просторі в деякий момент часу);
\hat{T}_n = \frac{\hat{\bold{p}}_n \cdot \hat{\bold{p}}_n}{2m_n} = -\frac{\hbar^2}{2m_n} \nabla_n^2 — оператор кінетичної енергії n-ої частинки, \nabla_n — градієнт, що діє на n-ту частинку, а \nabla_n^2 — лапласіан:
\nabla_n^2 = \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} + \frac{\partial^2}{\partial y_n^2} + \frac{\partial^2}{\partial z_n^2}.

Комбінуючи отримані результати, можна записати гамільтоніан системи N частинок:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2} \sum\limits_{n=1}^N \frac{\nabla_n^2}{m_n} + V(\bold{q}_1,\bold{q}_2,...,\bold{q}_N,t).

Однак труднощі виникають у проблемі багатьох тіл. Якщо потенціальна енергія залежить від просторової конфігурації системи частинок, то згідно з законом збереження енергії кінетична енергія теж залежить від її просторової конфігурації. Рух деякої окремої частинки змінюватиметься під впливом інших частинок системи. Тому в кінетичній енергії можуть з'явиться доданки, що враховують кореляції між частинками, наприклад, добуток градієнтів для двох частинок:

-\frac{\hbar^2}{2M} \nabla_i \cdot \nabla_j,

де M — маса частинок, які враховуються в даному доданку кінетичної енергії. Такі доданки виникають у гамільтоніанах атомів із багатьма електронами.

Для N взаємодіючих частинок, наприклад, частинок, що взаємно взаємодіють та утворюють задачу багатьох тіл, потенціальна енергія не є просто сумою окремих потенціалів. Вона є функцією всіх положень у просторі кожної частинки.

Для невзаємодіючих частинок потенціальна енергія системи є сумою потенціальних енергії кожної частинки:

\hat{V} = \sum\limits_{n=1}^N V(\bold{q}_n,t) = V(\bold{q}_1,t) + V(\bold{q}_2,t) + ... + V(\bold{q}_N,t).

Загальний вигляд гамільтоніану буде наступним:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2} \sum\limits_{n=1}^N \frac{\nabla_n^2}{m_n} + \sum\limits_{n=1}^N V(\bold{q}_n,t) = \sum\limits_{n=1}^N \Bigl( -\frac{\hbar^2}{2m_n} \nabla_n^2 + V(\bold{q}_n,t) \Bigr) = \sum\limits_{n=1}^N \hat{H}_n,

де сума береться по всіх частинках та їх потенціалах. У результаті гамільтоніан системи є сумою гамільтоніанів кожної окремої частинки. Така ситуація є ідеалізованою, на практиці частинки майже завжди знаходяться під впливом деякого потенціалу, що зумовлює наявність взаємодії між всіма частинками. Прикладом взаємодії між двома частинками, де такі міркування не спрацьовують, є електростатичні потенціали заряджених частинок, оскільки вони взаємодіють одна з одною завдяки кулонівським силам.

Рівняння Шредінгера[ред.ред. код]

Гамільтоніан породжує еволюцію квантової системи в часі. Якщо | \psi(t) \rangle — стан системи в момент часу t, то для нього можна записати рівняння:

\hat{H} | \psi(t) \rangle = -i\hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle.

Це рівняння носить назву рівняння Шредінгера, яке є квантовим аналогом рівняння Гамільтона — Якобі. Якщо стан системи заданий в деякий початковий момент часу (наприклад, t=0), то він визначений і у будь-який інший момент часу. Якщо гамільтоніан явно не залежить від часу, то:

| \psi(t) \rangle = e^{-\frac{i \hat{H} t}{\hbar}} |\psi(0)\rangle.

Експоненціальний оператор \hat{U}(t) = e^{-\frac{i \hat{H} t}{\hbar}}, що діє тут на хвильову функцію, є унітарним і має назву оператора еволюції. Якщо гамільтоніан незалежний від часу, то сукупність \{\hat{U}(t)\} утворює однопараметричну унітарну групу.

Формалізм Дірака[ред.ред. код]

Докладніше: Бра-кет нотація

В більш загальному діраківському формалізмі гамільтоніан зазвичай інтерпретується як оператор у гільбертовому просторі. Власні вектори оператора \hat{H}, які позначаються | n \rangle, складають ортонормований базис гільбертового простору. Спектр дозволених енергетичних рівнів визначається набором власних значень, що позначається \{E_n\} і є розв'язком рівняння:

\hat{H} | n \rangle = E_n | n \rangle.

Оскільки гамільтоніан є ермітовим оператором, то енергія є завжди дійсною.

Із строго математичної точки зору зазначені вище припущення треба використовувати з обережністю. Наприклад, оператори в гільбертовому просторі з нескінченною кількістю вимірів необов'язково мають власні значення (набір власних значень може не збігатися зі спектром оператора). Однак всі основні квантовомеханічні обчислення успішно виконуються на основі лише фізичного трактування.

Часткові випадки[ред.ред. код]

Вільна частинка[ред.ред. код]

Цей випадок є найпростішим. Оскільки рух вільної частинки масою m не обмежується жодними потенціалами, то до гамільтоніану входить лише кінетична енергія частинки, тому:

\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2.

Якщо частинка рухається в одновимірному просторі, то:

\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}.

Гармонічний осцилятор[ред.ред. код]

Для одновимірного гармонічного осцилятора потенціальна енергія виглядає так:

\hat{V} = \frac{kx^2}{2} = \frac{m \omega^2}{2} x^2,

де \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} — кутова частота.

Так, гамільтоніан запишеться наступним чином:

 \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} +  \frac{m\omega^2}{2} x^2.

В тривимірному випадку гамільтоніан складатиметься з трьох частин, що діють окремо на кожну з декартових координат:

\begin{align} \hat{H} & = \hat{H}_x + \hat{H}_y + \hat{H}_z = \\
& = \Bigl( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} +  \frac{m\omega^2}{2} x^2 \Bigr) + \Bigl( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial y^2} +  \frac{m\omega^2}{2} y^2 \Bigr) + \Bigl( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial z^2} +  \frac{m\omega^2}{2} z^2 \Bigr) = \\
& = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + \frac{m\omega^2}{2} r^2. \end{align}

Жорсткий ротор[ред.ред. код]

Для жорсткого ротора (тобто, системи частинок, що може вільно обертатися навколо будь-якої осі), що не прив'язаний до жодного потенціалу (наприклад, вільні молекули з малими обертальними ступенями вільності внаслідок, скажімо, подвійних або потрійних хімічних зв'язків), гамільтоніан прийме наступний вигляд:

\hat{H} = - \frac{\hbar ^2}{2I_{xx}} \hat{J}_x^2 - \frac{\hbar ^2}{2I_{yy}} \hat{J}_y^2 - \frac{\hbar ^2}{2I_{zz}} \hat{J}_z^2,

де I_{xx}, I_{yy}, I_{zz} — відповідні компоненти моменту інерції (формально, діагональні елементи тензору інерції), \hat{J}_x, \hat{J}_y, \hat{J}_z — оператори проекцій повного кутового моменту на осі Ox, Oy і Oz відповідно.

Електростатичний (кулонівський) потенціал[ред.ред. код]

Кулонівська потенціальна енергія двох точкових зарядів q_1 і q_2 (тобто, заряджених частинок, що не мають просторової протяжності) у тривимірному просторі дорівнює (в одиницях СІ):

V = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 |\bold{r}|}.

Однак, це потенціал лише для одного точкового заряду відносно іншого. При розгляді системи багатьох заряджених частинок, кожен заряд має потенціальну енергію відносно усіх інших точкових зарядів (окрім самого себе). Для N зарядів потенціальна енергія заряду q_j відносно всіх інших дорівнює:

V_j = \frac{1}{2} \sum\limits_{i\neq j} q_i \varphi(\bold{r}_i) = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0} \sum\limits_{i\neq j} \frac{q_i q_j}{|\bold{r}_i - \bold{r}_j|},

де \varphi(\bold{r}_i) — електростатичний потенціал заряда q_j в \bold{r}_i. Просумувавши отриманий вираз за j, отримуємо вираз для повного потенціалу системи:

V = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0} \sum\limits_{j=1}^N \sum\limits_{i\neq j} \frac{q_i q_j}{|\bold{r}_i - \bold{r}_j|}.

Таким чином, гамільтоніан матиме вигляд:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{j=1}^N\frac{1}{m_j}\nabla_j^2 + \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{j=1}^N\sum_{i\neq j} \frac{q_iq_j}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|} = \sum_{j=1}^N \left ( -\frac{\hbar^2}{2m_j}\nabla_j^2 + \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{i\neq j} \frac{q_iq_j}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|}\right).

Електричний диполь в електричному полі[ред.ред. код]

Для електричного дипольного моменту \bold{d}, що з'єднує заряди величиною q, у постійному (незалежному від часу) електричному полі \bold{E} потенціал має наступний вигляд:

V = - \bold{\hat{d}} \cdot \bold{E}.

Якщо частинка стаціонарна, то трансляційна кінетична енергія диполя відсутня, тож гамільтоніан диполя — це просто потенціальна енергія:

\hat{H} = - \bold{\hat{d}} \cdot \bold{E} = -q\bold{E} \cdot \bold{\hat{r}}.

Заряджена частинка в електромагнітному полі[ред.ред. код]

Електромагнітне поле, що характеризується скалярним потенціалом \varphi і векторним потенціалом \bold{A}, і в якому знаходиться заряджена частинка q, змінює обидві частини гамільтоніану.

По-перше, електромагнітне поле дає внесок до кінетичної енергії, а точніше, до імпульсу \bold{p} за рахунок векторного потенціалу \bold{A}. У СІ це записується як:

\bold{p}' = \bold{p} - q\bold{A},

де \bold{p} = -i\hbar \nabla — оператор імпульсу. Таким чином, оператор кінетичної енергії запишеться:

\hat{T} = \frac{1}{2m} (-i\hbar \nabla - q\bold{A})^2.

Скалярний потенціал \varphi дає внесок до потенціальної енергії:

\hat{V} = q\varphi.

Остаточно, гамільтоніан для такого випадку:

\hat{H} = \frac{1}{2m} (-i\hbar \nabla - q\bold{A})^2 + q\varphi.

Властивості[ред.ред. код]

Гамільтоніан — ермітів оператор, і внаслідок цього його власні значення дійсні, тобто енергія квантомеханічного стану — дійсна величина.

Спектр гамільтоніану може бути дискретним чи неперервним.

Відповідно, власні функції гамільтоніана можуть спадати на нескінченості, утворюючи локалізовані стани або ж вести себе як необмежена хвиля, утворюючи делокалізовані стани.

Гамільтоніан системи багатьох часток однієї природи повністю симетричний відносно координат цих часток (див. принцип нерозрізнюваності часток).


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.
  • Коэн-Таннуджи К., Диу Б., Лалоэ Ф. Квантовая механика. — Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2000. — 944+800 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.
  • Мессиа А. Квантовая механика (в 2-х томах). — М.: Наука, 1978-1979. — 1064 с.
  • Шифф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1957. — 476 с.