Коваріантність і контраваріантність (математика)

     вектор v, описаний в термінах

дотичного базіса

     e₁, e₂, e₃ в      координатних кривих (ліворуч),

дуального базіса, ковекторного базіса або взаємного базіса

     e¹, e², e³ в      координатних поверхнях (праворуч),

в 3-d загальних криволінійних координатах (q¹, q², q³), кортеж чисел для визначення точки в координатному просторі. Зверніть увагу, що базис і кобазіс збігаються тільки тоді, коли базис ортогональний.

Коваріантність і контраваріантність — поняття, які використовуються в математиці (лінійній алгебрі, диференціальній геометрії, тензорному аналізі) і у фізиці, для опису того, як тензори (скаляри, вектори, оператори, білінійні форми тощо) змінюються при перетвореннях базисів у відповідних просторах або многовидах. Контраваріантними називають «звичайні» компоненти, які при зміні базису простору змінюються за допомогою перетворення, зворотного до перетворення базису. Коваріантними — ті, які змінюються так само, як і базис.

Зв'язок між коваріантними і контраваріантнимі координатами тензора можливий тільки в просторах, де заданий метричний тензор (не слід плутати з метричним простором).

Терміни коваріантність і контраваріантність були введені Сильвестром в 1853 році для досліджень з алгебричної теорії інваріантів.

Джерела

• Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005), Mathematical Methods for Physicists (вид. 6th), San Diego: Harcourt, ISBN 0-12-059876-0.
• Dodson, C. T. J.; Poston, T. (1991), Tensor geometry, Graduate Texts in Mathematics, т. 130 (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52018-4, MR 1223091.
• Greub, Werner Hildbert (1967), Multilinear algebra, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer-Verlag New York, Inc., New York, MR 0224623.
• Sternberg, Shlomo (1983), Lectures on differential geometry, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0.
• Sylvester, J.J. (1853), On a Theory of the Syzygetic Relations of Two Rational Integral Functions, Comprising an Application to the Theory of Sturm's Functions, and That of the Greatest Algebraical Common Measure, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, The Royal Society, 143: 407—548, doi:10.1098/rstl.1853.0018, JSTOR 108572.

Додаткові джерела

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), tensor Covariant tensor, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), tensor Contravariant tensor, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Covariant Tensor(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Contravariant Tensor(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Invariance, Contravariance, and Covariance
• Introduction to tensor calculus - Kees Dullemond & Kasper Peeters