Орбівид

Орбівиди (англ. Orbifold)— неформально кажучи, це многовид з особливостями, які виглядають як фактор евклідового простору за скінченною групою.

Один з об'єктів дослідження в алгебричній топології, алгебричній і диференціальній геометрії, теорії особливостей.

Орбівид і многовид (порівняння означень)

Орбівид означається як Гаусдорфів топологічний простір $X$ (який називають підпорядкованим простором орбівиду) і виділений набір відкритих відображень $\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\subset \mathbb {R} ^{n}\to X$ (що зветься атласом), такий, що $\varphi _{\alpha }(U_{\alpha })$ є покриттям $X$.

Приклади

• Пара многовиду $M$ з дією дискретної групи дифеоморфізмів $\Gamma$ задає орбівид.
• Структуру орбівиду з двовимірною сферою $\mathbb {S} ^{2}={\hat {\mathbb {C} }}$ як підпорядкованим простором, можна задати двома картами $f,\;g\colon \mathbb {C} \to {\hat {\mathbb {C} }}$, $f(z)=z^{m}$ і $g(z)=1/z^{n}$ для натуральних чисел $m$ та $n$.

Нехай $M\rightarrow {\mathcal {O}}$ 3-сасакієве розшарування із спільним шаром, дифеоморфним сфері $S^{3}$ або $SO(3),$ над кватерніонно-келеровим орбівидом ${\mathcal {O}}.$ Із цим розшаруванням можна асоціювати два векторних розшарування із шарами $\mathbb {H} ,\mathbb {C} ,$ простори яких можна позначити ${\mathcal {M}}_{1},{\mathcal {M}}_{2}$ відповідно. Ці простори дозволяють здійснити розширення конусної особливості двома топологічно різними способами. При цьому метрика на ${\mathcal {M}}_{1},{\mathcal {M}}_{2}$ виглядає так:

$dt^{2}+\sum _{i=1}^{3}A_{i}(t)^{2}\eta _{i}^{2}+B(t)^{2}g|_{\mathcal {H}},$

де $g$ — метрика на 3-сасакієвому многовиді $M$, ${\mathcal {H}}$ — дотичний до $M$ розподіл горизонтальних векторів, $\eta _{i}$ — базис 1-форм, які анулюють ${\mathcal {H}}$.

Література

• Арнольд, В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. — М.: ФАЗИС, 1996. — 334 с. — ISBN 978-5-7036-0021-4.
• Каку, Мичио. Введение в теорию суперструн / пер. с англ. Г. Э. Арутюнова, А. Д. Попова, С. В. Чудова; под ред. И. Я. Арефьевой. — М. : Мир, 1999. — 624 с. — ISBN 5-03-002518-9.
• Кетов, С. В. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. — Новосибирск: Наука, 1990. — 368 с. — ISBN 5-02-029660-0.
• Скотт П. Геометрия на трёхмерных многообразиях. — М.: Мир, 1986.
• Dixon L., Harwey J. A., Vafa C., Witten E. Strings on orbifolds // Nucl. Phys., 1985, B261, 678; 1986, B274, 286.