Гаусдорфів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У топології і суміжних областях математики гаусдорфів простір, відокремлений простір або -простір — це тополгічний простір, в якому для будь-яких двох різних точок існують околи, що не перетинаються. Серед багатьох аксіом відокремлюваності, що можуть бути накладені на топологічний простір, «аксіома Гаусдорфа» () використовується найчастіше і є найбільш обговорюваною. Вона зумовлює однозначність границь послідовностей, множин та фільтрів.[1]

Гаусдорфів простір був названий на честь Фелікса Гаусдорфа, одного з основоположників топології. Оригінальне означення Гаусдорфа топологічного простору (у 1914 році) включало умову Гаусдорфа як аксіому. Іноді для позначення структури гаусдорфового топологічного простору на множині застосовується термін гаусдорфова топологія.

Означення[ред. | ред. код]

Точки та , розділені їх відповідними околами і .

У топологічному просторі точки і можуть бути розділені околами, якщо існує такий окіл для і такий окіл для , що і неперетинні

(). вважається гаусдорфовим простором, якщо для двох довільних точок та існують околи та , що не перетинаються. Ця умова є третьою аксіомою видокремлюваності (після , ), саме тому гаусдорфів простір також називають простором або відокремленим простором.

Пов'язане, але більш слабке поняття, — це поняття пререгулярного простору. є пререгулярним простором, якщо будь-які дві точки, що мають різні околи, можуть бути розділені відокремлюванням їхніх околів. Пререгулярні простори також називають просторами.

Зв'язок між цими двома поняттями наступний. Топологічний простір є гасудорфовим тоді і тільки тоді, коли він є одночасно і пререгулярним простором (тобто, точки з різними околами відокремлені своїми околами) і простором (тобто, точки з неперервними околами мають різні околи). Топологічний простір є пререгулярним тоді і тільки тоді, коли його факторпростір Колмогорова є гаусдорфовим.

Еквівалентності[ред. | ред. код]

Для топологічного простору Х наступні твердження еквівалентні.[2]

  • є гаусдорфовим простором.
  • Границі направленностей на визначаються однозначно.[3]
  • Границі фільтрів на визначаються однозначно.[4]
  • Будь-який синґлетон рівний перетину всіх замкнених околів .[5](Замкненим околом вважається замкнена множина, яка містить відкриту множину, яка у свою чергу містить ).
  • Множина замкнена як підмножина добутку топологічних просторів .

Є гаусдорфовими:

Не є гаусдорфовими, наприклад:

Простий (і важливий) приклад негаусдорфового простору — зв'язна двоточка, а в загальнішому випадку — алгебра Гейтінга.

Приклади і контрприклади[ред. | ред. код]

Майже всі простори, що розглядаються у математичному аналізі є гаусдорфовими. Більше того, простір дійсних чисел (заданий як метричний простір над полем дійсних чисел) є гаусдорфовим простором. Говорячи більш загально, всі метричні простори є гаусдорфовими. Зокрема, більшість просторів, що використовуються в математичному аналізі, такі як топологічні групи і топологічні многовиди, явно включають умову Гаусдорфа у своєму означенні.

Простий приклад топології, яка є простором і водночас не є гаусдорфовим простором — це скінченна топологія, що визначена на нескінченнній множині.

Псевдометричні простори зазвичай не є гаусдорфовими, але вони пререгулярні і у більшості випадків їх використовують при побудові гаусдорфових каліброваних просторів. Зазвичай, коли спеціалісти натикаються на негаусдорфів простір, скоріше за все він буде хоча б пререгулярним, що дає змогу замінити його на факторпростір Колмогорова цього простору, який у свою чергу є гаусдорфовим.[6]

З іншого боку, непререгулярні простори найчастіше розглядються у абстрактній алгебрі і алгебраїчній геометрії, зокрема як топології Зариського на алгебраїчному многовиді або на спектрі кільця. Вони також виникають у теорії моделей інтуїціоністської логіки: будь-яка повна алгебра Гейтінга є алгеброю відкритих множин якогось тополгічного простору, але цей простір необов'язково має бути пререгулярним, тим більше гаусдорфовим. Схожа ідея теорії областей Скотта також складається з непререгулярних просторів.

Не дивлячись на те, що існування однозначних границь для збіжних послідовностей і фільтрів передбачає гаусдорфівість простору, існують негаусдорфові простори, в яких для кожної збіжної послідовності (направленності) існує однозначна границя.[7]

Властивості[ред. | ред. код]

Підмножини і добутки гаусдорфових просторів є гаусдорфовими просторами,[8] але факторпростори гаусдорфових просторів можуть такими і не бути. Зокрема, будь-який топологічний простір може бути представлений у вигляді факторпростору якого-небудь гаусдорфового простору.[9]

Гаусдорфові простори є T1 просторами. Це означає, що всі синґлетони є замкненими. Щодо пререгулярних просторів, то вони всі є R0 просторами.

Інша цікава властивість гаусдорфових просторів полягає у тому, що всі компактні простори у ньому завжди є замкненими.[10] На відміну від, наприклад, негаусдорфових просторів Серпінського, в яких такої властивості немає.

В означенні гаусдорфового простору зазначено те, що точки можуть бути розділені їхніми околами. Як виявляється, це породжує більш вагомий факт: у гаусдорфовому просторі будь-яка пара неперетинних компактних множин також може бути розділена своїми околами.[11] Іншими словами, існує такий окіл у першої множини і такий окіл у другої множини, що їхні околи неперетинні. Це є прикладом загального правила, що компактні множини у багатьох випадках поводять себе подібно точкам.

Умови повноти разом з пререгулярністю зазвичай передбачають більш сильні аксіоми видокремлюваності. Наприклад, будь-який локально компактний пререгулярний простір є простором Тихонова. Компактні пререгулярні простори є нормальними просторами, що означає, що вони задовільняють лемі Урисона і теоремі Тітце, а також мають структуру розбиття одиниці, що підкоряється локально скінченним відкритим покриттям. Для гаусдорфових просторів мають місце такі аналоги цих тверджень: кожний локально компактний гаусдорфів простір є простором Тихонова і кожний компактний гаусдорфів простір є нормальним.

Нижче описані деякі технічні властивості гаусдорфових просторів щодо відображень (неперервних та інших) на гаусдорфових просторах.

Нехай — неперервна функція і нехай є гаусдорфовим простором, тоді графік функції є замкненою підмножиною простору .

Нехай задана функція , , де — її ядро, яке вважається підпростором в .

  • Якщо — неперервна, а є гаусдорфовим простором, тоді є замкненою множиною.
  • Якщо є відкритою сюр'єкцією, а є замкненою множиною, то є гаусдорфовим простором.
  • Якщо є неперервною функцією і водночас відкритою сюр'єкцією (тобто, відкритим фактор-відображенням), то є гаусдорфовим простором тоді і тільки тоді, коли є замкненою множиною.

Якщо — неперервні відображення, а є гаусдорфовим, тоді вирівнювач є замкненою множиною в . Таким чином, якщо є гаусдорфовим, а та узгоджені на щільній підмножині множини , то . Іншими словами, неперервні відображення у гаусдорфові простори визначаються їхніми значеннями на щільних підмножинах.

Нехай є замкненою сюр'єкцією, такою, що є компактним простором для всіх . Тоді, якщо є гаусдорфовим простором, то також є гаусдорфовим.

Нехай є фактор-відображенням, де є компактним гаусдорфовим простором. Тоді мають місце наступні твердження:

Відмінність регулярності від пререгулярності[ред. | ред. код]

Всі регулярні простори є пререгулярними, так само, як і всі гаусдорфові простори. Існує багато результатів щодо топологічних просторів, що справедливі як для регулярних, так і для гаусдорфових просторів. Зазвичай ці ж результати також справедливі і для пререгулярних просторів; вони наводяться для регулярних і гаусдорфових просторів, оскільки ідея пререгулярних просторів виникла пізніше. З іншого ж боку, результати, що справедливі щодо регулярности, взагалі кажучи, не застосовуються для нерегулярних гаусдфорових просторів.

Існує багато прикладів, коли яка-небудь інша умова топологічних просторів (така як паракомпактність або локальна компактність) приводитиме до регулярності, якщо простір є пререгулярним. Такі умови часто виникають у двох версіях: регулярна версія і гаусдорфова версія. Не дивлячись на те, що гаусдорфові простори у загальному випадку не є регулярними, вони можуть бути регулярними за умови, наприклад, локальної компактності, так як будь-який гаусдорфів простір є пререгулярним. Отже, з певної точки зору, у таких випадках пререгулярність грає більш важливу роль, аніж регулярність. Все ж означення зазвичай формуються у термінах регулярності, оскільки ця умова більш відома, ніж пререгулярність.

Більше інформації можна знайти на сторінці історії аксіом відокремлюваності.

Різновиди[ред. | ред. код]

Терміни «гаусдорфовий», «розділений» і «пререгулярний» також застосовуються у таких варіантах топологічних просторів як рівномірний простір, простір Коші і простір збіжності. Характеристика, що об'єднує головну ідею у всіх цих прикладах просторів це те, що границя множин і фільтрів (якщо вони існують) є однозначною (для відокремлених просторів) або однозначною з точністю до топологічної нерозрізненості (для пререгулярних просторів).

Виявляється, що рівномірні простори, і більш загальні простори Коші, завжди пререгулярні, тому аксіома Гаусдорфа у цих випадках редукується до аксіоми . Також у цих просторах поняття повноти має сенс і, як правило, супроводжується гаусдорфівістю. А саме, простір вважається повним тоді і тільки тоді, коли кожна множина Коші має щонайменше одну границю, а гаусдорфовим простір вважається тоді і тільки тоді, коли кожна множина Коші має щонайбільше одну границю (оскільки лише множини Коші можуть мати границі).

Алгебра функцій[ред. | ред. код]

Алгеброю неперервних (дійсних або комплексних) функцій на компактному гаусдорфовому просторі називається комутативна C*-алгебра і навпаки, за допомогою теореми Банаха-Стоуна можливо відтворити топологію простору з алгебраїчних властивостей її алгебри неперервних функцій. Це приводить нас до некомутативної геометрії, де можна розглянути некомутативні C*-алгебри як представлення алгебр функцій на некомутативному просторі.

Науковий гумор[ред. | ред. код]

  • Аксіома Гаусдорфа також може бути ілюстрована за допомогою англійської гри слів, а саме, що будь-які дві точки можуть бути «housed off» одна від іншої відкритими множинами, що звучить як «Hausdorff».[12]
  • У Боннському університеті математики, в якому викладав і займався дослідженнями Фелікс Гаусдорф, існує кімната із назвою Hausdorff-Raum. Це гра слів, оскільки з німецької Raum має відразу два значення — «кімната» і «простір».

Дививсь також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — ISBN 5354008220.(рос.)

  1. Separation axioms Tietze, Naik
  2. separation axioms in nLab
  3. Willard, pp. 86-87
  4. Willard, pp. 86–87
  5. Bourbaki, p. 75
  6. See for instance Lp space Lp spaces, Banach-Mazur compactum etc.
  7. 7van Douwen, Eric K. (1993). "An anti-Hausdorff Frechet space in which convergent sequences have unique limits.Topology and its Applications. 51 (2): 147�158. doi: 10.1016/0166-8641(93)90147-6
  8. Hausdorff property is hereditary PlanetMath
  9. Shimrat, M. (1956). "Decomposition spaces and separation properties". Quart. J. Math. 2: 128-129
  10. Proof of A compact set in a Hausdorff space is closed PlanetMath
  11. Willard, p. 124
  12. Colin Adams and Robert Franzosa. Introduction to Topology: Pure and Applied. p. 42