Оператор Лапласа — Бельтрамі

Опера́тор Лапла́са — Бельтра́мі (називають іноді оператором Бельтра́мі — Лапла́са або просто оператором Бельтра́мі)- диференціальний оператор другого порядку, що діє в просторі гладких (або аналітичних) функцій на рімановому многовиді $M$.

У координатах $x_{1},\ldots ,x_{n},$ де $n=\dim M,$ оператор Лапласа — Бельтрамі задають так. Нехай $(g_{ij})$ — матриця метричного тензора ріманового многовиду, $(g^{ij})$ — обернена матриця і $g=\det(g_{ij})$, тоді оператор Лапласа — Бельтрамі має вигляд

$-\sum _{i,j}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggl (}g^{ij}{\sqrt {g}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\biggr )}.\qquad (*)$

Приклади

• У разі, коли $M$ — область в евклідовому просторі зі стандартною метрикою $(g_{ij})=(\delta _{ij})$ — одинична матриця, оператор Лапласа-Бельтрамі (*) перетворюється (з точністю до знака) на оператор Лапласа.

• Нехай $\dim M=2$ і метричний тензор має вигляд $ds^{2}=E(x,y)\,dx^{2}+2F(x,y)\,dxdy+G(x,y)\,dy^{2},$ тоді формула (*) набуває вигляду

  ${\frac {\partial }{\partial x}}{\biggl (}{\frac {F{\frac {\partial }{\partial y}}-G{\frac {\partial }{\partial x}}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}{\biggr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\biggl (}{\frac {F{\frac {\partial }{\partial x}}-E{\frac {\partial }{\partial y}}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}{\biggr )}.\qquad (**)$

• Диференціальне рівняння з частковими похідними другого порядку $Lf=0,$ де оператор $L$ задано формулою (**), можна розв'язати, якщо функції $E,F,G$ аналітичні або досить гладкі. Цей факт використовується для доведення існування локальних ізометричних (конформних) координат на поверхні $M$, тобто доведення того, що кожен двовимірний ріманів многовид локально конформно еквівалентний евклідовій площині.

Література

• Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов, — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989.
• Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, — М., Мир, 1984.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Будь-яке видання.