Конформне відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Конформне відображення: лінії, що перетинаються під кутом 90° переходять у криві, що перетинаються під кутом 90°.

Конформне відображеннянеперервне відображення, що зберігає кути. Більш формально, неперервне відображення області G n-вимірного евклідового простору в n-вимірний евклідовий простір називається конформним в точці z_0 \in G якщо воно в цій точці має властивість збереження кутів, тобто будь-яка пара неперервних кривих l_1, l_2, що розташовані в G і перетинаються в точці z_0 під кутом \alpha. (Мають дотичні в точці z_0, що утворюють між собою кут \alpha), при даному відображенні переходить в пару неперервних кривих L_1, L_2, що перетинаються в точці w_0 = f(z_0) під тим же кутом \alpha. Неперервне відображення області G називається конформним, якщо воно є конформним в кожній точці цієї області.

Комплексний випадок[ред.ред. код]

У найважливішому випадку n = 2 область G і її образ f(G) при відображенні f лежать у площині, яку зручно розглядати як площину комплексної змінної z; відповідно відображення w = f (z) є комплекснозначною функцією комплексної змінної При цьому якщо в точці z_0 відображення w = f (z) зберігає кути, то криволінійні кути з вершиною z_0 при цьому відображенні або всі зберігають свою абсолютну величину і знак, або всі зберігають свою абсолютну величину, змінюючи знак на протилежний.

Якщо відображення w = f(z) є конформним в точці z_0, то існує скінченна границя відношення \frac{f(z) - f (z_0)}{z-z_0}, тобто існує похідна f'(z_0). При додатковому припущенні f'(z_0) \neq 0, вірним є і оберенене твердження. Тобто відображення w = j (z) є конформним в області G скінченної комплексної площини \C тоді і тільки тоді, коли функція f(z), \,\, z \in G є аналітичною і в G f'(z_0) \neq 0.

Таким чином, якщо існує f'(z_0) \neq 0 то кожен нескінченно малий вектор з початком у точці z_0 при відображенні w = f (z) розтягується в k(z_0,f) = |f (z_0)| раз, повертається на кут arg f'(z_0) і паралельно зсувається на вектор f(z_0)-z_0; нескінченно малі кола з центром z_0 переходять у нескінченно малі кола.

Якщо неперервні відображення w = f(z) є однолистим (тобто взаємно-однозначним) і коефіцієнт розтягнення в кожній точці буде однаковим в усіх напрямках, то або f(z), або \bar {f(z)} є аналітичною функцією, похідна якої усюди в G відмінна від нуля.

Простори вищої розмірності[ред.ред. код]

Конформні відображення областей n-вимірного евклідового простору при n \geqslant 3 утворюють досить вузький клас так званих мебіусових відображень, кожне з яких згідно з теоремою Ліувіля утворюється композицією відображення гомотетії, ізометрії і спеціального конформного відображення, що є композицією відбиття і інверсії щодо сфери.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения МГУ, УРСС, 2002 334 с.
  • Ahlfors, Lars V. (1973), Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co