Конформне відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Конформне відображення: лінії, що перетинаються під кутом 90° переходять у криві, що перетинаються під кутом 90°.

Конформне відображеннянеперервне відображення, що зберігає кути. Більш формально, неперервне відображення області G n-вимірного евклідового простору в n-вимірний евклідовий простір називається конформним в точці якщо воно в цій точці має властивість збереження кутів, тобто будь-яка пара неперервних кривих , що розташовані в G і перетинаються в точці під кутом . (Мають дотичні в точці , що утворюють між собою кут ), при даному відображенні переходить в пару неперервних кривих що перетинаються в точці під тим же кутом Неперервне відображення області G називається конформним, якщо воно є конформним в кожній точці цієї області.

Комплексний випадок[ред.ред. код]

У найважливішому випадку n = 2 область G і її образ f(G) при відображенні f лежать у площині, яку зручно розглядати як площину комплексної змінної z; відповідно відображення w = f (z) є комплекснозначною функцією комплексної змінної При цьому якщо в точці відображення w = f (z) зберігає кути, то криволінійні кути з вершиною при цьому відображенні або всі зберігають свою абсолютну величину і знак, або всі зберігають свою абсолютну величину, змінюючи знак на протилежний.

Якщо відображення є конформним в точці то існує скінченна границя відношення тобто існує похідна При додатковому припущенні правильним є і оберенене твердження. Тобто відображення w = j (z) є конформним в області G скінченної комплексної площини тоді і тільки тоді, коли функція є аналітичною і в G

Таким чином, якщо існує , то кожен нескінченно малий вектор з початком у точці при відображенні w = f (z) розтягується в раз, повертається на кут і паралельно зсувається на вектор ; нескінченно малі кола з центром ; переходять у нескінченно малі кола.

Якщо неперервні відображення w = f(z) є однолистим (тобто взаємно-однозначним) і коефіцієнт розтягнення в кожній точці буде однаковим в усіх напрямках, то або f(z), або є аналітичною функцією, похідна якої усюди в G відмінна від нуля.

Простори вищої розмірності[ред.ред. код]

Конформні відображення областей n-вимірного евклідового простору при утворюють досить вузький клас так званих мебіусових відображень, кожне з яких згідно з теоремою Ліувіля утворюється композицією відображення гомотетії, ізометрії і спеціального конформного відображення, що є композицією відбиття і інверсії щодо сфери.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения МГУ, УРСС, 2002 334 с.
  • Ahlfors, Lars V. (1973), Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.