Псевдовипадкова функція

Сімейство псевдовипадкових функцій (англ. pseudorandom function family, PRF) — це множина ефективно-обчислювальних функцій, що імітують випадковий оракул наступним чином: не існує дієвого алгоритму, що може розрізнити (з вагомою перевагою) між функцією випадково обраною з PRF сімейства і випадковим оракулом (результати якого фіксуються повністю навмання). Псевдовипадкові функції життєво важливі засоби при будові криптографічних примітивів, особливо безпечних схем шифрування.

Не плутаймо псевдовипадкові функції з псевдовипадковими генераторами (англ. PRG). PRG гарантують, що один вихід виявиться випадковим, якщо на вході було випадкове значення. З іншого боку, PRF гарантує, що всі виходи здаватимуться випадковими, незалежно від того як обирали відповідні вхідні дані, доти доки функція була випадково витягнута з сімейства PRF.

Псевдовипадкову функцію можна побудувати з псевдовипадкового генератора. Розрізняють PRF зі змінною довжиною вхідних даних (англ. variable-input-length, VIL PRF) і PRF зі сталою довжиною (англ. fixed-input-length, FIL PRF).

Математичне підґрунтя

Нехай $F:K\times X\to Y$ буде PRF.

$\left\{{\begin{matrix}Funs[X,Y]:\forall F:X\to Y\\S_{F}=\left\{F(k,\cdot ),k\in K\right\}\subseteq Funs[X,Y]\end{matrix}}\right.$

Інтуїтивно PRF безпечна, якщо випадкову функцію з $Funs[X,Y]$ неможливо відрізнити від випадкової функції з $S_{F}$. Дамо точніше математичне визначення. Для b = 0,1 розглянемо досліди $EXP(b)$.

$b=0:K\to k,F(k,\cdot )\to f$

$b=1:Funs[X,Y]\to f$

Супротивник (англ. adversary) $A$ виконує $q$ запитів $x_{1},x_{2},...x_{q}\in X$ і отримує $q$ відповідей $f(x_{1}),f(x_{2}),...f(x_{q})$. По вивчені відповідей ціллю супротивника є вказати з якої саме множини вибрали функцію.

Отже, $F$ є захищеною PRF, якщо для будь-якого ефективного супротивника $A$ перевага: $Adv_{PRF}[A,F]:={\begin{vmatrix}Pr[EXP(0)=1]-Pr[EXP(1)=1]\end{vmatrix}}$ не вагома.

Див. також

• Псевдовипадкова перестановка