Теорема Вітні про вкладення

Теорема Вітні про вкладення стверджує:

Довільний гладкий $m$-вимірний многовид дозволяє гладке вкладення у $2m$-вимірний евклідів простір.

Цей результат оптимальний, якщо, наприклад, $m$ — степінь двійки, то $m$-вимірювальний проективний простір неможливо вкласти в $(2m-1)$ вимірювальний евклідів простір.

Про доведення

Випадки $m=1$ і $m=2$ «робляться руками». У випадку $m\geqslant 3$ легко бачити, що гладке відображення загального положення $f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}$ є іммерсією з трансверсальними самоперетинами. Позбутися від цих самоперетинів можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні.

Трюк Вітні

Нехай $p\in \mathbb {R} ^{2m}$ є точкою самоперетину і $x,y\in M$ такі, що $f(x)=f(y)=p$. З'єднаємо $x$ та $y$ гладою кривою $c\colon [0,1]\to M.$ Тоді $f\circ c$ є замкнутою кривою в $\mathbb {R} ^{2m}$. Побудуємо відображення $h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}$ з границею $f\circ c$.

У загальному положенні $h$ є вкладення (саме тут ми використовуємо те, що $m\geqslant 3$).

Тоді можна продеформувати многовид $M$ вздовж вкладеного диска так, щоб точка самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, уявивши картинку.

Література

• В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
• Skopenkov, A. (2008), Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces, in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes., 347 (2): 248—342
• класифікація вкладень (англ.)