Вкладення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Вкладення у математиці — це спеціального вигляду відображення одного екземпляру деякої математичної структури у інший екземпляр того ж типу. А саме , вкладення деякого об'єкту X у Y визначається ін'єктивним відображенням, яке зберігає деяку структуру. Що означає «збереження структури», залежить від типу математичної структури, об'єктами котрої є X та Y. У термінах теорії категорій відображення, яке «зберігає структуру», називають морфізмом.

Те, що відображення f: X\to Y є вкладенням, часто позначають «стрілкою-парасолькою» таким чином: f: X\hookrightarrow Y.

Для заданих X та Y може бути декілька можливих вкладень. У багатьох випадках існує стандартне (або «канонічне») вкладення — наприклад, вкладення натуральних чисел у цілі, цілих - у раціональні, раціональних - у дійсні, а дійсних - у комплексні. У таких випадках зазвичай задають область визначення X з образом f(X)\subset Y, таку що X\subseteq Y.

Геометрія та топологія[ред.ред. код]

Загальна топологія[ред.ред. код]

Відображення топологічних просторів f: X\to Y називається вкладенням X у Y, якщо f: X\to f(X)\subset Yгомеоморфізм (на f(X) розглядається топологія, індукована з Y). Кожне вкладення неперервне і ін'єктивне.

Для простору X існує вкладення X\to Yтопологічний інваріант. Ми можемо розрізняти два простори, якщо один з них можна вкласти у Y, а інший - ні.

Диференційна топологія[ред.ред. код]

НехайM, Nгладкі многовиди та f: M\to Nгладке відображення. Воно називається зануренням, якщодиференціал df відображення f всюди ін'єктивний. Гладке вкладення — це занурення, що є також вкладенням у вищенаведеному сенсі (тобто, гомеоморфізмом на свій образ).

Іншими словами, вкладення діфеоморфне своєму образу, і, зокрема, образ вкладення повинен бути підмноговидом. Занурення у свою чергу є локальним вкладенням (тобто, для кожної точки x\in M існує окіл U\subset M, x\in U такий, що f: U\to N — вкладення).

Алгебра[ред.ред. код]

Теорія кілець[ред.ред. код]

У теорії кілець вкладенням називається ін'єктивний кільцевий гомоморфізм f \colon A \to B. Так як f(A) є підкільцем кільця B, то вкладення f встановлює ізоморфізм між кільцями A та f(A).

Теорія категорій[ред.ред. код]