K-функція

У математиці K-функція, зазвичай позначається як $K(z)$, — узагальнення функції гіперфакторіала для комплексних чисел подібно до гамма-функції як узагальнення функції факторіала для комплексних чисел.

Означення

Формально K-функція визначається так

$K(z)=(2\pi )^{-{\frac {z-1}{2}}}\exp \left[{C_{z}^{2}}+\int _{0}^{z-1}\ln \Gamma (t+1)\,dt\right].$

Також можна записати її у простішій формі:

$K(z)=\exp {\bigl [}\zeta '(-1,z)-\zeta '(-1){\bigr ]},$

де $\zeta '(z)$ — похідні дзета-функції Рімана, $\zeta (a,z)$ — дзета-функція Гурвіца і

$\zeta '(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left.{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right|_{s=a}.$

Інша форма запису через полігамма-функцію:

$K(z)=\exp \left[\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right].$

Або, використовуючи узагальнену полігамма-функцію, можна сказати, що

$K(z)=A\exp \left[\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right],$

де $A$ — стала Глейшера.

Властивості

Нехай $\alpha >0$. Тоді

$\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\frac {1}{2}}\right).$

Нехай

$f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx.$

Диференціюючи цю рівність по $\alpha$, отримаємо

$f'(\alpha )=\ln K(\alpha +1)-\ln K(\alpha )=\ln {\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}.$

За означенням K-функції можна записати

$f'(\alpha )=\alpha \ln \alpha .$

Також

$f(\alpha )={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\frac {1}{2}}\right)+C.$

Покладемо $\alpha =0$. Тоді отримаємо

$\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim _{t\to 0}\left[{\frac {1}{2}}t^{2}\left(\ln t-{\frac {1}{2}}\right)\right]+C=C.$

Тепер можна зробити висновок про рівність, наведену вище.

K-функція тісно пов'язана з гамма-функцією та G-функцією Барнса: для натуральних $n$ маємо

$K(n)={\frac {{\bigl (}\Gamma (n){\bigr )}^{n-1}}{G(n)}}.$

Можна записати цю рівність більш просто

$K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.$

Значення функції при натуральних аргументах:

$1,\,4,\,108,\,27648,\,86400000,\,4031078400000,\,3319766398771200000,\ldots \quad$ ( послідовність A002109 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).