У математиці K-функція, зазвичай позначається як
, — узагальнення функції гіперфакторіала для комплексних чисел подібно до гамма-функції як узагальнення функції факторіала для комплексних чисел.
Формально K-функція визначається так
![{\displaystyle K(z)=(2\pi )^{-{\frac {z-1}{2}}}\exp \left[{C_{z}^{2}}+\int _{0}^{z-1}\ln \Gamma (t+1)\,dt\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f1778c512aaee8089a4c38b8b43b80a4d4ba1c)
Також можна записати її у простішій формі:
![{\displaystyle K(z)=\exp {\bigl [}\zeta '(-1,z)-\zeta '(-1){\bigr ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24c3093d9145f8c5534ff49c5058fa550903558)
де
— похідні дзета-функції Рімана,
— дзета-функція Гурвіца і
![{\displaystyle \zeta '(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left.{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right|_{s=a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a2c32c130d7c2ca4a9d1e2568c44c901783c32)
Інша форма запису через полігамма-функцію[1]:
![{\displaystyle K(z)=\exp \left[\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9ea25ca8545788b7b6bb2d180bd5243b867fbf)
Або, використовуючи узагальнену полігамма-функцію[en][2], можна сказати, що
![{\displaystyle K(z)=A\exp \left[\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ee07674e99d3185b698ab9027fe4cf98ef294e)
де
— стала Глейшера.
Нехай
. Тоді
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\frac {1}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de06e35768279c5a260a81e1cd0ffd2de3efc7c0)
Нехай
![{\displaystyle f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae716785e5d2c34ae88f541edb737c24fd2223d)
Диференціюючи цю рівність по
, отримаємо
![{\displaystyle f'(\alpha )=\ln K(\alpha +1)-\ln K(\alpha )=\ln {\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208550433d647a1a31db46d8b7261df694d5f8fd)
За означенням K-функції можна записати
![{\displaystyle f'(\alpha )=\alpha \ln \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4516991fe8881c5c48511fec3781641490c5584e)
Також
![{\displaystyle f(\alpha )={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\frac {1}{2}}\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa96a731a2527f1a4b5ca74bc1ab9f5e9beef9e)
Покладемо
. Тоді отримаємо
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim _{t\to 0}\left[{\frac {1}{2}}t^{2}\left(\ln t-{\frac {1}{2}}\right)\right]+C=C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ba5ea48f81d04dbd16ec4beff641796e2e53ec)
Тепер можна зробити висновок про рівність, наведену вище.
K-функція тісно пов'язана з гамма-функцією та G-функцією Барнса[en]: для натуральних
маємо
![{\displaystyle K(n)={\frac {{\bigl (}\Gamma (n){\bigr )}^{n-1}}{G(n)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b45261b33e9ceec2bf6cbff56e00861f84f79b)
Можна записати цю рівність більш просто
![{\displaystyle K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc3faddf49fe249f32d6c16042af7b159e1ac6b)
Значення функції при натуральних аргументах:
( послідовність A002109 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
- ↑ Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order
- ↑ Olivier Espinosa Victor Hugo Moll. A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115