Дзета-функція Гурвіца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці дзета-функція Гурвіца, названа на честь Адольфа Гурвіца — одна з дзета-функцій, які є узагальненнями дзета-функції Рімана. Формально вона може бути задана степеневим рядом для комплексних аргументів s, при Re(s) > 1, і q, Re(q) > 0:

Цей ряд є абсолютно збіжним для заданих значень s і q. Дзета-функція Рімана — окремий випадок дзета-функції Гурвіца при q = 1.

Аналітичне продовження[ред. | ред. код]

Дзета функція Гурвіца допускає аналітичне продовження до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних s, при s ≠ 1. У точці s = 1 вона має простий полюс з лишком рівним 1. Постійний член розкладу в ряд Лорана в околі точки s = 1 дорівнює:

,

де Γ(x) — гамма-функція, і ψ(x) — дігамма-функція.

Представлення у вигляді рядів[ред. | ред. код]

Представлення у вигляді збіжного степеневого ряду для q > −1 і довільного комплексного s ≠ 1 було отримано в 1930 році Гельмутом Хассе [1]


Цей ряд є рівномірно збіжним на будь-якій компактній підмножині комплексної s-площини до цілої функції. Внутрішня сума може бути представлена у вигляді n-ої скінченної різниці для , тобто:

де Δ — оператор скінченної різниці. Таким чином

Інтегральні представлення[ред. | ред. код]

Дзета-функція Гурвіца має інтегральне представлення у вигляді перетворення Мелліна:

для Re(s) > 1 і Re(q) > 0.

Формула Гурвіца[ред. | ред. код]

,

де

.

Це представлення дзета-функції Гурвіца є вірним для 0 ≤ x ≤ 1 и s>1. Тут — позначає полілогарифм.

Функціональне рівняння[ред. | ред. код]

Дане функціональне рівняння пов'язує значення дзета-функції Гурвіцa зліва і праворуч від прямої Re(s) = 1/2 в комплексній s-площині. Для натуральних m і n, таких що m ≤ n рівність:

є вірною для всіх значень s.

Ряд Тейлора[ред. | ред. код]

Похідна дзета-функції Гурвіца по другому аргументу також виражається через дзета-функцію Гурвіца:

Таким чином ряд Тейлора має вигляд:

Ряд Лорана[ред. | ред. код]

Розклад дзета-функції Гурвіца в ряд Лорана може бути використаний для визначення констант Стілтьєса[en], які з'являються в розкладі:

Перетворення Фур'є[ред. | ред. код]

Дискретне перетворення Фур'є по змінній s дзета-функції Гурвіца є хі-функцією Лежандра [2]

Зв'язок з многочленами Бернуллі[ред. | ред. код]

Введена вище функція узагальнює многочлени Бернуллі:

.

З іншого боку,

Зокрема, при :

Зв'язок з тета-функцією Якобі[ред. | ред. код]

Якщо тета-функція Якобі, тоді

.

Ця формула є вірною для Re(s) > 0 і будь-якого комплексного z, яке не є цілим числом. Для цілого z = n формула спрощується:

.

де ζ(s) — дзета-функція Рімана. Останній вираз є функціональним рівнянням для дзета-функція Рімана.

Зв'язок з L-функцією Діріхле[ред. | ред. код]

При раціональних значеннях аргументу дзета-функція Гурвіца може бути представлена у вигляді лінійної комбінації L-функцій Діріхле і навпаки. Якщо q = n/k при k > 2, (n,k) > 1 і 0 < n < k, тоді

при цьому сума здійснюється за всіма характерами Діріхле по модулю k. І навпаки

Зокрема існує таке представлення:

що узагальнює

(Яке є вірним при натуральному q і ненатуральному 1 − qa.)

Раціональні значення аргументів[ред. | ред. код]

Дзета-функція Гурвіца зустрічається в різних співвідношеннях для раціональних значень аргументів. [2] Зокрема, для многочленів Ейлера:

і

,

Крім того рівність

,

є вірною для . Тут і виражаються через хі-функціію Лежандра як

і

Застосування[ред. | ред. код]

Дзета-функція Гурвіца зустрічається в різних розділах математики, зокрема в теорії чисел, де її теорія є найбільш розвиненою. Також дзета-функція Гурвіца зустрічається в теорії фракталів і динамічних систем. Дзета-функція Гурвіца застосовується в математичній статистиці, в законі Ціпфа. В фізиці елементарних частинок використовується у формулі Швінгера [3], що дає точний результат для показника народження пар в рівнянні Дірака для стаціонарного електромагнітного поля.

Окремі випадки і узагальнення[ред. | ред. код]

Дзета-функція Гурвіца пов'язані з полігамма-функцією:

Дзета-функція Лерхе узагальнює дзета-функцію Гурвіца:

тобто

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Helmut Hasse. Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe // Mathematische Zeitschrift. — 1930. — Nr. 1. — DOI:10.1007 / BF01194645.
  2. а б Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments // Math. Comp.. — 1999. — No. 68. — P. 1623-1630.
  3. J. Schwinger. On gauge invariance and vacuum polarization // Physical Review. — 1951. — Т. 82, № 5. — С. 664-679. — DOI:10.1103 / PhysRev.82.664.

Посилання[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]