Підстановки Ейлера — підстановки, що зводять інтеграли виду , де — раціональна функція, до інтегралів від раціональних функцій. Запропоновані Л. Ейлером у 1768 році [1]
Використовується тоді, коли .Здійснюється заміна:
Розв'язавши відносно , знаходимо
У цій підстановці можна вибрати додатній або від'ємний знак.
Використовується тоді, коли .Здійснюється заміна
- .
Як і у попередньому випадку розв'язуємо відносно і знаходимо
Знову ж можна вибрати додатній або від'ємний знак.
Якщо многочлен має дійсні корені та , то виконуємо заміну:
як і в попередніх випадках, ми можемо представити підінтегральну функцію, як раціональний вираз від .
В інтегралі
можна використовувати першу підстановку Ейлера: , тоді
Відповідно, отримуємо
Для отримуємо відповідно формули:
Для інтегрування
використовуємо першу підстановку Ейлера
Після піднесення обох частин до квадрату отримуємо
та знаходимо
Далі знаходимо співвідношення між та
Таким чином,
В інтегралі
можна застосувати другу підстановку Ейлера
Звідси знаходимо та
Відповідно, отримуємо
Для того, щоб проінтегрувати
можна використати третю підстановку Ейлера
Звідси знаходимо та :
Підставимо всі дані у початковий інтеграл
Як можна побачити, це інтеграл від раціональної функції, який можна проінтегрувати за допомогою метод невизначених коефіцієнтів.
Підстановки Ейлера можна узагальнити шляхом використання уявних чисел.
Наприклад, для інтегрування
можна скористатися підстановкою
Розширення на комплексні числа дозволяє використовувати всі підстановки Ейлера незалежно від коефіцієнтів
квадратного тричлена.
Підстановки Ейлера можна узагальнити на ширший клас функцій. Розглянемо інтеграли вигляду
де та є раціональними функціями від та . Цей інтеграл можна звести за допомогою підстановки
до вигляду
де та тепер раціональні функції змінної .
У принципі, метод розкладання на множники та метод невизначених коефіцієнтів можна використовувати для зведення цього інтегралу до інтегралів простішого вигляду, які можна інтегрувати аналітично за допомогою функції дилогарифм. [2]
За спогадами учня Ландау А.В.Ахіезера, той вкрай негативно ставився до використання даних підстановки:
«[...]він (Ландау) запропонував мені вирахувати [...] інтеграл від раціональної дробу. [...] я вирахував, не використовуючи стандартних підстановок Ейлера, і це мене врятувало, бо, як я зрозумів згодом, Ландау не терпів їх і вважав, що кожен раз потрібно використовувати який-небудь штучний прийом, що, власне, я і зробив»
- ↑ N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.
- ↑ Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. с. 145—146. ISBN 978-0867202939.