Розрив двоїстості

Розри́в двої́стості — це різниця між прямим і двоїстим розв'язками. Якщо $d^{*}$ — оптимальне значення двоїстої задачі, а $p^{*}$ — оптимальне значення прямої задачі, то розрив двоїстості дорівнює $p^{*}-d^{*}$. Це значення завжди більше або дорівнює нулю (для задач мінімізації). Розрив двоїстості дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли має місце сильна двоїстість. В іншому випадку розрив строго додатний, і має місце слабка двоїстість.

Опис

У загальному випадку, нехай дано двоїсту пару розділених локально опуклих просторів $\left(X,X^{*}\right)$ і $\left(Y,Y^{*}\right)$. Тоді, якщо дано функцію $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$, можна визначити пряму задачу як

$\inf _{x\in X}f(x).\,$

Якщо є обмеження, їх можна вбудувати у функцію $f$, додавши індикаторну функцію $I$ на обмеженнях — $f=f+I$. Тоді нехай $F:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ буде функцією збурень, такою що $F(x,0)=f(x)$. Розрив двоїстості — це різниця, яка задається формулою

$\inf _{x\in X}[F(x,0)]-\sup _{y^{*}\in Y^{*}}[-F^{*}(0,y^{*})]$

де $F^{*}$ — спряжена функція від обох змінних.

Альтернативи

В обчислювальній оптимізації часто згадується інший «розрив двоїстості», який дорівнює різниці значень між будь-яким розв'язком і значенням допустимого, але підоптимального значення прямої задачі. Цей альтернативний «розрив двоїстості» кількісно виражає розбіжність між значенням поточного допустимого, але підоптимального значення прямої задачі, і значенням двоїстої задачі. Значення двоїстої задачі, за умовами регулярності, дорівнює значенню опуклої релаксації прямої задачі. Опукла релаксація — це задача, яка виходить після заміни неопуклої множини допустимих розв'язків її замкнутою опуклою оболонкою і заміни неопуклої функції її опуклим замиканням, тобто функцією, надграфік якої є замкнутою опуклою оболонкою надграфіка початкової цільової функції прямої задачі.

Література

• Jonathan Borwein, Qiji Zhu. Techniques of Variational Analysis. — Springer, 2005. — ISBN 978-1-4419-2026-3.
• Radu Ioan Boţ, Gert Wanka, Sorin-Mihai Grad. Duality in Vector Optimization. — Springer, 2009. — ISBN 978-3-642-02885-4.
• Ernö Robert Csetnek. Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators. — Logos Verlag Berlin GmbH, 2010. — ISBN 978-3-8325-2503-3.
• Zălinescu C. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ : World Scientific Publishing Co. Inc, 2002. — ISBN 981-238-067-1.
• Ravindra K. Ahuja, Thomas L. Magnanti, James B. Orlin. Network Flows: Theory, Algorithms and Applications. — Prentice Hall, 1993. — ISBN 0-13-617549-X.
• Dimitri P. Bertsekas. Nonlinear Programming. — 2nd. — Athena Scientific, 1999. — ISBN 1-886529-00-0.
• J. Frédéric Bonnans, J. Charles Gilbert, Claude Lemaréchal, Claudia A. Sagastizábal. Numerical optimization: Theoretical and practical aspects. — Second revised ed. of translation of 1997 French. — Berlin : Springer-Verlag, 2006. — (Universitext) — ISBN 3-540-35445-X. — DOI:10.1007/978-3-540-35447-5.
• Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal. Convex analysis and minimization algorithms, Volume I: Fundamentals. — Berlin : Springer-Verlag, 1993. — Т. 305. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]) — ISBN 3-540-56850-6.
• Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal. XII. Abstract Duality for Practitioners // Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. — Berlin : Springer-Verlag, 1993. — Т. 306. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]) — ISBN 3-540-56852-2. — DOI:10.1007/978-3-662-06409-2_4.
• Leon S. Lasdon. Optimization theory for large systems = Reprint of the 1970 Macmillan. — Mineola, New York : Dover Publications, Inc, 2002. — ISBN 978-0-486-41999-2.
• Claude Lemaréchal. Lagrangian relaxation // Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May 15–19, 2000 / Michael Jünger, Denis Naddef. — Berlin : Springer-Verlag, 2001. — Т. 2241. — (Lecture Notes in Computer Science (LNCS)) — ISBN 3-540-42877-1. — DOI:10.1007/3-540-45586-8_4.
• Michel Minoux. Mathematical programming: Theory and algorithms / Egon Balas (forward); Steven Vajda (trans) from the (1983 Paris: Dunod). — Chichester : A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Ltd, 1986. — ISBN 0-471-90170-9. Перевод книги
  • Programmation mathématique : Théorie et algorithmes. — 2nd. — Paris : Tec & Doc, 2008. — С. xxx+711 pp. — ISBN 978-2-7430-1000-3.
• Jeremy F. Shapiro. Mathematical programming: Structures and algorithms. — New York : Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], 1979. — ISBN 0-471-77886-9.