Рівняння Блоха

Рівняння Блоха — феноменологічні рівняння, що описуть еволюцію намагніченості у системах із двома часами релаксації. Вони широко використовуються в теорії ядерного магнітного резонансу, ядерної магнітної томографії та електронного парамагнітного резонансу. Рівняння запропонував 1946 року Фелікс Блох. Аналог рівнянь Блоха, що використовується в оптиці, називають рівняннями Максвелла — Блоха.

Рівняння Блоха в лабораторній системі відліку

Нехай M(t) = (M_x(t), M_y(t), M_z(t)) є ядерною намагніченістю. Тоді рівняння Блоха записуються:

${\frac {dM_{x}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{x}-{\frac {M_{x}(t)}{T_{2}}},$

${\frac {dM_{y}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{y}-{\frac {M_{y}(t)}{T_{2}}},$

${\frac {dM_{z}(t)}{dt}}=\gamma (\mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t))_{z}-{\frac {M_{z}(t)-M_{0}}{T_{1}}},$

де $\gamma$ — гіромагнітне співвідношення, а $\mathbf {B} (t)=(B_{x}(t),B_{y}(t),B_{0}+\Delta B_{z}(t))$ — магнітне поле, що діє на ядро. z-ва складова магнітного поля B часто є сумою двох членів:

• перший, $B_{0}$, сталий у часі,
• інший, $\Delta B_{z}(t)$, може залежати від часу. У магнітно-резонансній томографії він допомагає декодувати сигнал ЯМР.

M(t) × B(t) позначає векторний добуток. M₀ є постійною намагніченістю, що орієнтована вздовж осі z. T₁ та T₂ - часи релаксації, поздовжньої та поперечної.

Без врахування релаксації (в граничному випадку $T_{1},T_{2}\rightarrow \infty$ рівняння спрощується до

${\frac {d\mathbf {M} (t)}{dt}}=\gamma \mathbf {M} (t)\times \mathbf {B} (t)$,

що описує Ларморову прецесію намагніченості.

У матричній формі рівняння мають вигляд:

${\frac {d}{dt}}\left({\begin{array}{c}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{z}&-\gamma B_{y}\\-\gamma B_{z}&-{\frac {1}{T_{2}}}&\gamma B_{x}\\\gamma B_{y}&-\gamma B_{x}&-{\frac {1}{T_{1}}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{array}}\right)$

Рівняння Блоха є макроскопічними, тобто вони описують усереднену намагніченість великого числа ядер.

Рівняння Блоха в системі відліку, що обертається

Вектор намагніченості обертається з ларморовою частотою в постійному магнітному полі. Тому рівняння Блоха набувають зручної форми в такій системі відліку. Зокрема, якщо не враховувати поперечну релаксацію, поперечна складова намагніченості залишається сталою.

У змінному поперечному полі, що задається формулами

$B_{x}(t)=B_{1}\cos \omega t$

$B_{y}(t)=-B_{1}\sin \omega t$

$B_{z}(t)=B_{0}$,

вводячи позначення $\epsilon =\gamma B_{1}$ та $\Delta =\gamma B_{0}-\omega ,$

матрична форма рівнянь Блоха набирає вигляду

${\frac {d}{dt}}\left({\begin{array}{c}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}-{\frac {1}{T_{2}}}&\Delta &0\\-\Delta &-{\frac {1}{T_{2}}}&\epsilon \\0&-\epsilon &-{\frac {1}{T_{1}}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}M'_{x}\\M'_{y}\\M'_{z}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\0\\{\frac {M_{0}}{T_{1}}}\end{array}}\right).$

Тут

$M_{xy}'(t)=e^{+i\Omega t}M_{xy}(t)=M_{x}'+iM_{y}'\,$

$M_{z}'(t)=M_{z}(t).$

$\Omega$ - частота обертання системи відліку, що в особливо зручному випадку дорівнює ларморовій частоті $\omega _{0}=\gamma B_{0}.$