Принцип еквівалентності

Принцип еквівалентності - основне твердження загальної теорії відносності, за яким спостерігач не може жодним чином відрізнити дію гравітаційного поля від сили інерції, що виникає в системі відліку, яка рухається з прискоренням.

Принцип еквівалентності справедливий завдяки рівності гравітаційної та інерційної маси.

Розрізняють слабкий принцип еквівалентності та сильний принцип еквівалентності. Різниця між ними в тому, що слабкий принцип - це локальне твердження, а сильний принцип - це твердження, що стосується будь-якої точки простору часу, тобто будь-якого місця у Всесвіті й будь-якого часу в минулому чи майбутньому.

Математичне формулювання

Подивимось, як цей принцип відображається у формулах. Для цього розглянемо світову лінію матеріальної точки з масою $m$. Натуральний параметр цієї лінії позначимо $s$, він пропорційний власному часу матеріальної точки $\tau$:

$(1)\qquad s=c\tau$

де $c$ - швидкість світла. Різниця $ds$ натурального параметра в двох близьких точках чотиривимірного простору-часу називається просторово-часовим інтервалом. Він повязаний з приростами координат наступною формулою:

$(2)\qquad (ds)^{2}=c^{2}(d\tau )^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$

Одиничний дотичний вектор $\nu ^{i}$ до світової лінії є справжнім чотиривектором; він виражається через чотиривектор швидкості $v^{i}={dx^{i} \over d\tau }$:

$(3)\qquad \nu ^{i}={dx^{i} \over ds}={v^{i} \over c}$

Геодезична кривина світової лінії також є справжнім чотиривектором, і дорівнює:

$(4)\qquad k^{i}={D\nu ^{i} \over Ds}={d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}$

В спеціальній теорії відносності прискорення матеріальної точки було повязане із силою наступною формулою:

$(5)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}=F^{i}$

Оскільки в спеціальній теорії відносності символи Крістофеля дорівнюють нулю, то ми можемо замість другої похідної по часу підставити вектор кривини $k^{i}$ з відповідним коефіцієнтом, і узагальнити (5) до наступної тензорної формули:

$(6)\qquad mc^{2}\left({d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}\right)=F^{i}$

Всі справжні сили, окрім сили тяжіння і сил інерції, (наприклад електромагнітні сили) зібрані в векторі $F^{i}$. Мимохідь можна побачити такий цікавий геометричний факт: геодезична кривина світової лінії (розмірність обернена до відстані) дорівнює силі, поділеній на енергію спокою:.

$(7)\qquad k^{i}={F^{i} \over mc^{2}}$

Сила тяжіння і сили інерції описуються одним доданком в формулі (6), повязаним із символами Крістофеля. Перепишемо (6), перенісши цей доданок в праву частину рівняння, і позначимо цю несправжню силу ${\tilde {F}}^{i}$ (еф з тільдою):

$(8)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}=-m_{0}\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over d\tau }{dx^{k} \over d\tau }+F^{i}={\tilde {F}}^{i}+F^{i}$

Звернемо увагу, що маса $m$ в лівій частині формули (6) винесена за дужки, а тому при розритті дужок буде однаковою інерційна маса, яка стоїть множником біля прискорення в даній системі координат:

$(9)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}$

і гравітаційна маса, яка стоїть множником в формулі для гравітаційної сили:

$(10)\qquad {\tilde {F}}^{i}=-m\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over d\tau }{dx^{k} \over d\tau }$

Ясно, що відокремити силу тяжіння від сил інерції важко, особливо в нестаціонарному гравітаційному полі.

Проте ми можемо окремо говорити про сили інерції у випадку плоского простору Мінковського, коли тензор Рімана тотожно дорівнює нулю. Також ми можемо говорити тільки про силу гравітації і відсутність сил інерції, якщо метричний тензор не залежить від часу і на нескінченності переходить в постійний тензор Мінковського:

$(11)\qquad (g_{ij})={\begin{vmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{vmatrix}}$