Нерівність Єнсена

Нерівність Йєнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та її значення на відрізку інтегрування.

Дискретний випадок

Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x₁, x₂,...,x_n з її області визначення та додатніх чисел a_i, справджується:

$\varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}};$

нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.

Частковим випадком є:

$\varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}.$

За допомогою нерівності Йєнсена можна довести:

• Нерівність Коші,
• Нерівності про середнє.

Дивись також

• Нерівність Гельдера
• Нерівність Мінковського