Нерівність Мінковського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нері́вність Мінко́вського — це нерівність трикутника для векторного простору функцій з інтегрованим p-им ступенем.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай (X,\mathcal{F},\mu)метричний простір, і функції f,g \in L^{p}(X,\mathcal{F},\mu), тобто \int\limits_X |f|^p\, d\mu < \infty,\; \int\limits_X |g|^p\, d\mu < \infty, де p \ge 1, і інтеграл розумієтся як інтеграл Лебега.

Тоді (f+g) \in L^p(X,\mathcal{F},\mu), а також:

\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \le \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}.

Зауваження[ред.ред. код]

Нерівність Мінковського показує, що в лінійному просторі L^p(X,\mathcal{F},\mu) можна ввести норму:

\|f\|_p = \left(\;\int\limits_x |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p},

яка перетворює його на нормований, а також і метричний простір.

Евклідів простір[ред.ред. код]

Розглянемо Евклідів простір E = \R^n або \C^n. \ L^p-норма в цьому просторі: \| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top}, і тоді

\left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in E.

Простір lp[ред.ред. код]

Хай X = \mathbb{N},\ \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, mскінченна міра на \mathbb{N}. Тоді множина всіх послідовностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких що

\|x\|_p = (\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p)^{1/p} < \infty,

називается \ l^p.

Нерівність Мінковського для цього простору має вигляд:

\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n + y_n|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in l^p.

Імовірнісний простір[ред.ред. код]

Хай (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})імовірнісний простір. Тоді L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) складається з випадкових величин з кінцевим pмоментом: \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, де символ \mathbb{E} позначає математичне сподівання.

Нерівність Мінковського в цьому випадку має вигляд:

\left( \mathbb{E}|X+Y|^p \right)^{1/p}\le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} + \left( \mathbb{E}|Y|^p \right)^{1/p}.

Див. також[ред.ред. код]