Нерівність Мінковського

Нері́вність Мінко́вського — це нерівність трикутника для векторного простору функцій з інтегрованим $p$$p$-им ступенем.

Формулювання

Нехай $(X,{\mathcal {F}},\mu )$$(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — метричний простір, і функції $f,g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$$f,g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$, тобто $\int \limits _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty ,\;\int \limits _{X}|g|^{p}\,d\mu <\infty$$\int \limits _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty ,\;\int \limits _{X}|g|^{p}\,d\mu <\infty$, де $p\geq 1$$p\geq 1$, і інтеграл розумієтся як інтеграл Лебега.

Тоді $(f+g)\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$$(f+g)\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$, а також:

$\left(\int \limits _{X}|f(x)+g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}\leq \left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}+\left(\int \limits _{X}|g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}$$\left(\int \limits _{X}|f(x)+g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}\leq \left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}+\left(\int \limits _{X}|g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}$.

Зауваження

Нерівність Мінковського показує, що в лінійному просторі $L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$$L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ можна ввести норму:

$\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{x}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p}$$\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{x}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p}$,

яка перетворює його на нормований, а також і метричний простір.

Евклідів простір

Розглянемо Евклідів простір $E=\mathbb {R} ^{n}$$E=\mathbb {R} ^{n}$ або $\mathbb {C} ^{n}.$$\mathbb {C} ^{n}.$ $\ L^{p}$$\ L^{p}$-норма в цьому просторі: $\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top }$$\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top }$, і тоді

$\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in E$$\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in E$.

Простір l^p

Хай $X=\mathbb {N} ,\ {\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m$$X=\mathbb {N} ,\ {\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m$ — скінченна міра на $\mathbb {N}$$\mathbb {N}$. Тоді множина всіх послідовностей $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$$\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, таких що

$\|x\|_{p}=(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p})^{1/p}<\infty$$\|x\|_{p}=(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p})^{1/p}<\infty$,

називается $\ l^{p}$$\ l^{p}$.

Нерівність Мінковського для цього простору має вигляд:

$\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}+y_{n}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in l^{p}$$\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}+y_{n}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in l^{p}$.

Імовірнісний простір

Хай $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — імовірнісний простір. Тоді $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$$L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ складається з випадкових величин з кінцевим $p$$p$-м моментом: $\mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty$$\mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty$, де символ $\mathbb {E}$$\mathbb {E}$ позначає математичне сподівання.

Нерівність Мінковського в цьому випадку має вигляд:

$\left(\mathbb {E} |X+Y|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}+\left(\mathbb {E} |Y|^{p}\right)^{1/p}.$$\left(\mathbb {E} |X+Y|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}+\left(\mathbb {E} |Y|^{p}\right)^{1/p}.$

Див. також

• Простір Lp
• Герман Мінковський
• Нерівність Гельдера
• Відстань Мінковського
• Простір Мінковського
• Метрика Мінковського

Джерела

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — Москва : Наука, 1965.(рос.)