Нерівність Мінковського

Нері́вність Мінко́вського — це нерівність трикутника для векторного простору функцій з інтегрованим $p$-им ступенем.

Формулювання

Нехай $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — метричний простір, і функції $f,g\in L^{{p}}(X,{\mathcal {F}},\mu )$, тобто $\int \limits _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty ,\;\int \limits _{X}|g|^{p}\,d\mu <\infty$, де $p\geq 1$, і інтеграл розумієтся як інтеграл Лебега.

Тоді $(f+g)\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$, а також:

$\left(\int \limits _{X}|f(x)+g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{{1/p}}\leq \left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{{1/p}}+\left(\int \limits _{X}|g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{{1/p}}$.

Зауваження

Нерівність Мінковського показує, що в лінійному просторі $L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ можна ввести норму:

$\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{x}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{{1/p}}$,

яка перетворює його на нормований, а також і метричний простір.

Евклідів простір

Розглянемо Евклідів простір $E=\mathbb{R} ^{n}$ або $\mathbb{C} ^{n}.$ $\ L^{p}$-норма в цьому просторі: $\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{{\top }}$, і тоді

$\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{{1/p}}\leq \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}}+\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|y_{i}|^{p}\right)^{{1/p}},\;\forall x,y\in E$.

Простір l^p

Хай $X={\mathbb {N}},\ {\mathcal {F}}=2^{{{\mathbb {N}}}},\,m$ — скінченна міра на ${\mathbb {N}}$. Тоді множина всіх послідовностей $\{x_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$, таких що

$\|x\|_{p}=(\sum _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p})^{{1/p}}<\infty$,

називается $\ l^{p}$.

Нерівність Мінковського для цього простору має вигляд:

$\left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}+y_{n}|^{p}\right)^{{1/p}}\leq \left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p}\right)^{{1/p}}+\left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|y_{n}|^{p}\right)^{{1/p}},\;\forall x,y\in l^{p}$.

Імовірнісний простір

Хай $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ — імовірнісний простір. Тоді $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ складається з випадкових величин з кінцевим $p$-м моментом: ${\mathbb {E}}\left[|X|^{p}\right]<\infty$, де символ ${\mathbb {E}}$ позначає математичне сподівання.

Нерівність Мінковського в цьому випадку має вигляд:

$\left({\mathbb {E}}|X+Y|^{p}\right)^{{1/p}}\leq \left({\mathbb {E}}|X|^{p}\right)^{{1/p}}+\left({\mathbb {E}}|Y|^{p}\right)^{{1/p}}.$

Див. також

• Простір Lp
• Герман Мінковський
• Нерівність Гельдера
• Відстань Мінковського
• Простір Мінковського
• Метрика Мінковського