Нерівність Мінковського

Нері́вність Мінко́вського — це нерівність трикутника для векторного простору функцій з інтегрованим $p$-им ступенем.

Формулювання

Нехай $(X,\mathcal{F},\mu)$ — метричний простір, і функції $f,g \in L^{p}(X,\mathcal{F},\mu)$, тобто $\int\limits_X |f|^p\, d\mu < \infty,\; \int\limits_X |g|^p\, d\mu < \infty$, де $p \ge 1$, і інтеграл розумієтся як інтеграл Лебега.

Тоді $(f+g) \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)$, а також:

$\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \le \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}$.

Зауваження

Нерівність Мінковського показує, що в лінійному просторі $L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ можна ввести норму:

$\|f\|_p = \left(\;\int\limits_x |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p}$,

яка перетворює його на нормований, а також і метричний простір.

Евклідів простір

Розглянемо Евклідів простір $E = \R^n$ або $\C^n.$ $\ L^p$-норма в цьому просторі: $\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top}$, і тоді

$\left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in E$.

Простір l^p

Хай $X = \mathbb{N},\ \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m$ — скінченна міра на $\mathbb{N}$. Тоді множина всіх послідовностей $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$, таких що

$\|x\|_p = (\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p)^{1/p} < \infty$,

називается $\ l^p$.

Нерівність Мінковського для цього простору має вигляд:

$\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n + y_n|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in l^p$.

Імовірнісний простір

Хай $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ — імовірнісний простір. Тоді $L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ складається з випадкових величин з кінцевим $p$-м моментом: $\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty$, де символ $\mathbb{E}$ позначає математичне сподівання.

Нерівність Мінковського в цьому випадку має вигляд:

$\left( \mathbb{E}|X+Y|^p \right)^{1/p}\le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} + \left( \mathbb{E}|Y|^p \right)^{1/p}.$

Див. також

• Простір Lp
• Герман Мінковський
• Нерівність Гельдера
• Відстань Мінковського
• Простір Мінковського
• Метрика Мінковського