Антисиметричне відношення

Властивості бінарних відношень:
$\forall a,b,c\;\in {X}:$

рефлексивність $(aRa)\!$
антирефлексивність $\lnot (aRa)\!$

симетричність $aRb\Rightarrow bRa\!$
асиметричність $aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$

антисиметричність $aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$

транзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$
антитранзитивність $aRb\wedge bRc\Rightarrow \lnot (aRc)$

повнота $aRb\vee bRa\!$

В математиці, бінарне відношення R на множині X є антисиметричним, коли для будь-яких a та b з X, якщо a відноситься до b і b відноситься до a, то a = b.

Формально:

$\forall a,b\in X,\ aRb\land bRa\;\Rightarrow \;a=b$

Приклади

Антисиметричним є відношення строгої нерівності, адже a < b та b < a одночасно є неможливими.

Властивості

Антисиметричність не є оберненою до симетричності.

Існують відношення, які одночасно є симетричними та антисиметричними: "дорівнює" (" $=\!$ ").

Існують відношення які не є ані симетричними, ані антисиметричними:

Існують відношення, які є симетричними, але не антисиметричними: відношення подібності (конгруенція).

Існують відношення, які не є симетричними, але антисиметричні: "менше або дорівнює" (" $\leq \!$ ").