Антирефлексивне відношення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Властивості бінарних відношень:

рефлексивність
антирефлексивність

симетричність
асиметричність

антисиметричність
транзитивність
антитранзитивність

повнота


Антирефлексивне відношення - це таке бінарне відношення , у якому жоден елемент не співвідноситься із собою. Іншими словами відношення R на множині X є антирефлексивним, якщо для жодного aX не виконується aRa, тобто

.

Пов'язані терміни[ред. | ред. код]

Поняття антирефлексивного відношення протилежне до рефлексивного - бінарне відношення, у якому кожен елемент пов'язаний із собою, тобто

Як приклад такого відношення можна навести відношення нестрогої нерівності на множині натуральних або дійсних чисел. У матриці A(R) рефлексивного відношення на головній діагоналі завжди одиниці, а граф G(R) рефлексивного відношення містить петлі у всіх вершинах.

Відношення називають нерефлексивним, якщо в множині А існує елемент х, який не перебуває у відношенні сам із собою. Зрозуміло, що антирефлексивне відношення є нерефлексивним, але нерефлексивне не завжди є антирефлексивним. Наприклад, на множині дійсних чисел задано відношення R={(x,y), xRy ↔ y=1/x}. Як бачимо, тільки при x=y=1 має місце xRx.

Властивості рефлексивного та антирефлексивного відношення[ред. | ред. код]

  • Об'єднання та перетин двох рефлексивних або антирефлексивних відношень також буде рефлексивним або ж антирефлексивним відношенням відповідно.
  • Що стосується добутку: добуток рефлексивних відношень залишається рефлексивним відношенням, проте добуток антирефлексивних відношень уже не обов'язково буде антирефлексивним.
  • Транзитивне замикання рефлексивного відношення є рефлексивним відношенням.

Приклади антирефлексивних відношень[ред. | ред. код]

.
  • «не рівно»
  • «менше»
  • «більше»
  • «є підмножиною»
  • "бути старшим" у множині людей
  • "бути батьком"


Зображення антирефлексивних відношень[ред. | ред. код]

Матриця антирефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи її головної діагоналі – нулі.

Граф антирефлексивного відношення не має жодної петлі.