Нерівність Єнсена: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Xqbot (обговорення | внесок) м робот додав: ur:جینسن نامساوات |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''Нерівність Йєнсена''' — зв'язує [[визначений інтеграл]] [[опукла функція|опуклої функції]] та значення |
'''Нерівність Йєнсена''' — зв'язує [[визначений інтеграл]] [[опукла функція|опуклої функції]] та її значення на відрізку інтегрування. |
||
== Дискретний випадок == |
== Дискретний випадок == |
||
Рядок 11: | Рядок 11: | ||
:<math>\varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}.</math> |
:<math>\varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}.</math> |
||
⚫ | |||
Позначивши <math>\lambda_i=\frac{a_i}{\sum^n_{i=1}a_i}</math> отримаємо еквівалентне формулювання: |
|||
<math>f\left(\sum^n_{i=1}\lambda_ix_i\right)\leqslant \sum^n_{i=1}\lambda_if(x_i),</math> |
|||
де: |
|||
<math>\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n=1,</math> |
|||
⚫ | |||
* [[Нерівність Коші]], |
* [[Нерівність Коші]], |
||
* [[Нерівності про середнє]]. |
* [[Нерівності про середнє]]. |
||
== Імовірнісне формулювання == |
|||
Нехай <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — [[простір імовірностей]], і <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> — визначена на ньому випадкова величина. |
|||
Нехай також <math>\varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — інтегровна [[опукла функція]]. |
|||
Тоді |
|||
:<math>\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)]</math>, |
|||
Де <math>\mathbb{E}[\cdot]</math> - [[математичне очікування]]. |
|||
Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування. |
|||
Нехай додатково маємо <math>\mathcal{G}\subset \mathcal{F}</math> - [[Сигма-алгебра|під-σ-алгебра]] [[Випадкова подія|подій]]. Тоді |
|||
:<math>\varphi(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)|\mathcal{G}]</math>, |
|||
де <math>\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]</math> позначає [[умовне математичне очікування]] відносно σ-алгебри <math>\mathcal{G}</math>. |
|||
== Доведення == |
|||
===Дискретний випадок=== |
|||
Якщо ''λ''<sub>1</sub> і ''λ''<sub>2</sub> - два довільні додатні дійсні числа, такі що: ''λ''<sub>1</sub> + ''λ''<sub>2</sub> = 1 тоді враховуючи [[опукла функція|опуклість]] <math>\scriptstyle\varphi</math> маємо |
|||
:<math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)\text{ for any }x_1,\,x_2.</math> |
|||
Цю нерівність можна узагальнити: якщо ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub> є додатніми дійсними числами, такими що ''λ''<sub>1</sub> + ... + ''λ''<sub>''n''</sub> = 1, тоді |
|||
:<math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\cdots+\lambda_n x_n)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)+\cdots+\lambda_n\,\varphi(x_n),</math> |
|||
для будь-яких ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>. |
|||
Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений [[математична індукція|методом математичної індукції]]. Згідно припущення індукції твердження справедливе для ''n'' = 2</sub>. Припустимо воно справедливе для певногго даного ''n'' і потрібно довести нерівність для ''n'' + 1. Принаймі одне ''λ''<sub>''i''</sub> є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) ''λ''<sub>1</sub>. За означенням [[опукла функція|опуклості]]: |
|||
:<math>\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right)= \varphi\left(\lambda_1 x_1+(1-\lambda_1)\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+(1-\lambda_1) \varphi\left(\sum_{i=2}^{n+1}\left( \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\right).</math> |
|||
Оскільки <math>\scriptstyle \sum_{i=2}^{n+1} \lambda_i/(1-\lambda_1)\, =\,1</math>, до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення [[математична індукція|індукції]], після чого отримуємо бажаний результат. |
|||
==Замітки== |
|||
<references/> |
|||
==Дивись також== |
==Дивись також== |
||
*[[Нерівність Гельдера]] |
*[[Нерівність Гельдера]] |
||
*[[Нерівність Мінковського]] |
*[[Нерівність Мінковського]] |
||
*[[Опукла функція]] |
|||
{{Ізольована стаття}} |
|||
== Джерела == |
|||
{{Q-delete|дублюється з [[Нерівність_Єнсена]]}} |
|||
* {{cite book| |
|||
title=Неравенства| |
|||
author=Э. Беккенбах, Р. Беллман| |
|||
year=1965| |
|||
publisher=Мир| |
|||
city=Москва| |
|||
}} |
|||
* {{cite book| |
|||
title=Курс дифференциального и интегрального исчисления| |
|||
author=Г.М. Фихтенгольц| |
|||
year=1969| |
|||
publisher=Наука| |
|||
city=Москва| |
|||
}} |
|||
[[Категорія:Нерівності]] |
|||
[[ar:متراجحة ينسن]] |
|||
[[bg:Неравенство на Йенсен]] |
|||
⚫ | |||
[[cs:Jensenova nerovnost]] |
[[cs:Jensenova nerovnost]] |
||
[[de:Jensensche Ungleichung]] |
[[de:Jensensche Ungleichung]] |
||
[[en:Jensen's inequality]] |
[[en:Jensen's inequality]] |
||
[[es:Desigualdad de Jensen]] |
|||
⚫ | |||
[[fr:Inégalité de Jensen]] |
[[fr:Inégalité de Jensen]] |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[he:אי-שוויון ינסן]] |
[[he:אי-שוויון ינסן]] |
||
[[hu:Jensen-egyenlőtlenség]] |
[[hu:Jensen-egyenlőtlenség]] |
||
[[ |
[[nl:Ongelijkheid van Jensen]] |
||
[[ja:イェンゼンの不等式]] |
[[ja:イェンゼンの不等式]] |
||
⚫ | |||
[[nl:Ongelijkheid van Jensen]] |
|||
[[pl:Nierówność Jensena]] |
[[pl:Nierówność Jensena]] |
||
[[pt:Desigualdade de Jensen]] |
[[pt:Desigualdade de Jensen]] |
||
[[ru:Неравенство Йенсена]] |
[[ru:Неравенство Йенсена]] |
||
⚫ | |||
[[sv:Jensens olikhet]] |
[[sv:Jensens olikhet]] |
||
[[ur:جینسن نامساوات]] |
|||
[[vi:Bất đẳng thức Jensen]] |
[[vi:Bất đẳng thức Jensen]] |
||
[[zh:延森不等式]] |
[[zh:延森不等式]] |
Версія за 12:46, 2 вересня 2010
Нерівність Йєнсена — зв'язує визначений інтеграл опуклої функції та її значення на відрізку інтегрування.
Дискретний випадок
Для дійсної опуклої функції φ, та чисел x1, x2,...,xn з її області визначення та додатніх чисел ai, справджується:
нерівність міняє знак, коли φ — ввігнута функція.
Частковим випадком є:
За допомогою нерівності Йєнсена можна довести:
Дивись також
На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії. Будь ласка розставте посилання відповідно до прийнятих рекомендацій. |
Цю статтю запропоновано швидко вилучити на підставі КШВ: дублюється з Нерівність_Єнсена.
Якщо ця стаття відповідає критеріям швидкого вилучення, але Ви маєте намір невідкладно виправити недоліки цієї сторінки, хоча не Ви її створили, Ви можете просто прибрати це повідомлення зі сторінки і почати редагувати. Не прибирайте це повідомлення зі сторінок, які Ви самі створили! Якщо Ви не погоджуєтеся з доречністю швидкого вилучення цієї статті, додайте {{Hangon}} поверх цього повідомлення та негайно обґрунтуйте на сторінці обговорення, чому, на Вашу думку, її потрібно залишити. Це приверне увагу адміністраторів і дасть Вам змогу оскаржити номінацію на швидке вилучення. Зауважте, що цю статтю може бути вилучено в будь-який момент за умови беззаперечної відповідності критеріям швидкого вилучення або якщо пояснення буде визнано недостатнім. До уваги адміністраторів: прохання ретельно перевірити посилання на цю статтю, історію сторінки (останнє редагування), журнал та останні зміни КШВ перед тим, як вилучити або залишити цю статтю. Останнє редагування зроблено користувачем Maverick (внесок, журнали) 2 вересня 2010 року о 12:46 UTC (7202859 хвилин тому). |