Метрика Мінковського

Відстань Мінковського — це метрика на Евклідовому просторі, яка є узагальненням Евклідового простору та Мангетенської відстані.

Визначення

Відстань Мінковського порядку p між двома точками

$P=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}){\text{ and }}Q=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

визначається наступним чином:

$\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{1/p}.$

Відстань Мінковського є метрика як результат нерівності Мінковського.

Відстань Мінковського зазвичай використовується із порядком p, який дорівнює 1 або 2. Коли p = 2 — це Евклідова відстань, коли p = 1 це Мангетенська відстань. Коли p прямує до нескінченності — це відстань Чебишева:

$\lim _{p\to \infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.\,$

Схожим чином, коли p прямує до мінус нескінченності, маємо

$\lim _{p\to -\infty }{\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.\,$

Наступне зображення показує одиничні кола з разними значеннями p:

Посилання

• Відстань Мінковського