Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Це список границь для поширених функцій.
для всіх
.
для всіх
;
для всіх
;
для всіх
,
;
для всіх
.
Загалом, якщо
є поліномом, то за неперервністю поліномів
.
Це також справедливо для раціональних функцій, оскільки вони неперервні у своїй області визначення.
. Зокрема
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afa71c8dd73f6b8bdd8f9d8bb7ddceee0f32123)
. Зокрема
для будь-якого
[1]
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c257183aeacfaf8f68e96062b8ca60c732a5ce2b)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&n{\text{ - непарне}}\\+\infty ,&n{\text{ - парне}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8ff9c754d62011a1c798a29dbc17e545158c49)
для довільного
.
;
;
;
.
.
— друга чудова границя;[2]
;
;
;
.
;
;
для всіх
;
;
для всіх
.
для всіх
. Зокрема
,
.
;
;
— виводиться за правилом Лопіталя;
;
.
Для b > 1,
,
.
Для b < 1,
,
.
Для обох випадків можна узагальнити:
,
,
де
і
— функція Гевісайда.
![{\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bf4a31eeee313433f14413d9e3c441d69576a9)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233fccfb3bbfdad201662ecc5dce951fd4baf7b9)
— перша чудова границя. Узагальнення:
при
,
для всіх
,
при
.
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f11a7e97877900ffcb35de9f9636ada056329dc)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e68c22c5c70aa65f792c06b2cf2fb6e1ecfe16b)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580636aba444eda89b876cfc9e36e1f31d40e771)
для всіх
.
, де
— довільне.
, де
— число Дотті[en],
— довільне.