Теорема Лакса — Мільграма

Теорема Лакса — Мільграма — твердження у функціональному аналізі, що має широке застосування у теорії рівнянь в частинних похідних та числовому аналізі, зокрема при теоретичному обґрунтуванні методу скінченних елементів.

Твердження

Нехай:

• ${\mathcal {H}}$ є гільбертовим простором зі скалярним добутком $\left(\cdot ,\cdot \right)$ і асоційованою нормою $\|\cdot \|;$
• $a(\cdot ,\cdot )$ є білінійною формою, що є

• неперервною в ${\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}:$
  $$\exists M>0:\quad \forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\quad |a(u,v)|\leq M\cdot \|u\|\cdot \|v\|;$$
• коерцивною в ${\mathcal {H}}$ (іноді використовується термін ${\mathcal {H}}$-еліптичність):
  $$\exists m>0:\quad \forall u\in {\mathcal {H}}\quad a(u,u)\geq m\cdot \|u\|^{2};$$

• $\ell$ є неперервною лінійною формою у ${\mathcal {H}}.$

Тоді існує єдиний елемент $x\in {\mathcal {H}}$ такий що рівність $a(x,y)=\ell (y)$ виконується для всіх $y\in {\mathcal {H}}:$

$$\exists !x\in {\mathcal {H}}:\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\quad a(x,y)=\ell (y).$$

причому $\|x\|\leq {\frac {1}{m}}\cdot \|\ell \|_{\star }$.

Доведення

Для довільного $x\in {\mathcal {H}}$ відображення $y\mapsto a(x,y)$ — обмежений лінійний функціонал на ${\mathcal {H}}.$.

Тоді, за теоремою Ріса, існує єдиний $z$ з ${\mathcal {H}}$ такий, що $a(x,y)=(z,y)$. Будемо писати $z=Ax.$

$A$ — обмежений лінійний оператор. Справді, лінійність:

$${\begin{aligned}(A(\lambda _{1}\cdot x_{1}+\lambda _{2}\cdot x_{2}),y)&=a(\lambda _{1}\cdot x_{1}+\lambda _{2}\cdot x_{2},y)=\\&=\lambda _{1}\cdot a(x_{1},y)+\lambda _{2}\cdot a(x_{2},y)=\\&=\lambda _{1}\cdot (Ax_{1},y)+\lambda _{2}\cdot (Ax_{2},y)=\\&=(\lambda _{1}\cdot Ax_{1}+\lambda _{2}\cdot Ax_{2},y),\end{aligned}}$$

і обмеженість:

$$\|Ax\|={\frac {\|Ax\|^{2}}{\|Ax\|}}={\frac {(Ax,Ax)}{\|Ax\|}}={\frac {a(x,Ax)}{\|Ax\|}}\leq {\frac {M\cdot \|x\|\cdot \|Ax\|}{\|Ax\|}}=M\cdot \|x\|.$$

Із умови коерцивності випливає, що:

$$\|x\|={\frac {m\cdot \|x\|^{2}}{m\cdot \|x\|}}\leq {\frac {a(x,x)}{m\cdot \|x\|}}={\frac {(Ax,x)}{m\cdot \|x\|}}\leq {\frac {\|Ax\|\cdot \|x\|}{m\cdot \|x\|}}={\frac {1}{m}}\cdot \|Ax\|.$$

На основі цієї нерівності і лінійності випливає:

$$\|Ax-Ay\|=\|A(x-y)\|\geq m\cdot \|x-y\|,$$

зокрема $Ax\neq Ay$ при $x\neq y.$ Відповідно $A$ є ін'єктивним відображенням. Також із цієї нерівності випливає, що образ оператора $A$ є замкнутим. Справді, якщо y належить замиканню образу оператора, то існує послідовність $x_{n}\in {\mathcal {H}}$ для якої $y=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ у нормі гільбертового простору. Тоді $Ax_{n}$ є фундаментальною послідовністю і оскільки $\|Ax_{k}-Ax_{n}\|\geq m\cdot \|x_{k}-y_{n}\|,$ то $x_{n}$ теж є фундаментальною послідовністю. Із повноти гільбертового простору випливає, що $x_{n}$ збігається до деякого $x\in {\mathcal {H}}$ і тоді $y=Ax,$ тобто $y\in {\mathcal {H}}$.

Ба більше, $A$ — сюр'єкція, бо інакше існував би елемент $z$ з ортогонального доповнення до (замкненого) образу $A.$ Щоб знайти такий елемент потрібно взяти довільний $y\not \in Ax$ і знайти $y_{0}\in Ax,$ що є найкращим наближенням до y на образі оператора A. Згідно теорії гільбертових просторів такий $y_{0}$ існує і єдиний, а $z=y-y_{0}$ є ортогональним до образу оператора A. Але тоді

$$m\cdot \|z\|\leq a(z,z)=(Az,z)=0,$$

протиріччя з $m>0.$

Нарешті, знову-ж таки з теореми Ріса,

$$\forall \ell \in {\mathcal {H}}^{*}:\quad \exists !z\in {\mathcal {H}}:\quad \forall y\in {\mathcal {H}}:\quad \ell (y)=(z,y),$$

але, завдяки бієктивності $A$, ми можемо знайти єдиний елемент $x\in {\mathcal {H}}$ такий, що $Ax=z$, а тоді

$$a(x,y)=(Ax,y)=(z,y)=\ell (y).$$

Також згідно теореми Ріса при цьому $\|\ell \|_{\star }=\|Ax\|$ і також $\|Ax\|\geq m\cdot \|x\|,$ тому $\|x\|\leq {\frac {1}{m}}\cdot \|\ell \|_{\star }$.

Див. також

• Теорема Ріса

Література

• Савула Я.Г. Числовий аналіз задач математичної фізики варіаційними методами. - Львів: видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2004. — 221 с. ISBN 966-613-017-3