Теорема Сохоцького — Веєрштрасса (також теорема Казораті, теорема Казораті — Веєрштрасса) — теорема в комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної функції в околі істотно особливої точки. А саме відповідно до цієї теореми множина значень цієї функції в довільно малому околі істотно особливої точки є щільною множиною в множині комплексних чисел.
Вперше опублікована Казораті і Сохоцьким в 1868 році, згодом Веєрштрассом у 1876 році.
Значним посиленням теореми є велика теорема Пікара, згідно з якою множиною значень насправді є всі комплексні числа, за винятком можливо лише одного.
Нехай функція
— голоморфна у відкритій множині
і в точці
має істотно особливу точку. Тоді для будь-якого числа
можна знайти послідовність точок
таких що
і також
Іншими словами якщо
— довільний проколотий круг з центром в точці
, що міститься в
, то множина
є щільною в множині комплексних чисел.
Нехай спершу
. Оскільки функція
не може бути обмеженою в довільному проколотому крузі
з центром в істотно особливій точці то в цьому крузі можна знайти точку
в якій
У той же спосіб визначається існування числа
для якого
і загалом чисел
для яких
Очевидно, що в цьому випадку
і також
Нехай тепер
.
Якщо для кожного проколотого круга
існує така точка
для якої
то послідовність із твердження теореми можна визначити взявши
Тоді
для всіх
і
.
Якщо ж в деякому проколотому крузі
, що міститься в
функція
то можна визначити функцію:
![{\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c1803d0d840727f3b41045e7a1dd7a3abe16b67)
Вона буде голоморфною в
і матиме істотно особливу точку в
Тому з уже доведеного можна знайти послідовність точок
таких що
і також
Але тоді також:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(z_{n})=A+\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{f(g_{n})}}=A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb407aafd521b8576b2a8218e552b14c6ed2370c)
що завершує доведення теореми.