Теорема про рух центра мас системи

Теорема про рух центра мас (центра інерції) системи — одна із загальних теорем динаміки, є наслідком законів Ньютона. Стверджує, що прискорення центра мас механічної системи не залежить від внутрішніх сил, що діють на тіла системи, і пов'язує це прискорення з зовнішніми силами, що діють на систему.

Об'єктами, про які йдеться в теоремі, можуть, зокрема, бути такі:

• система матеріальних точок;
• протяжне тіло або система протяжних тіл;
• взагалі будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.

Формулювання теореми

Нерідко під час розгляду руху системи корисно знати закон руху її центра мас. У загальному випадку цей закон, що становить зміст твердження теореми про рух центра мас системи, формулюється так:

Добуток маси системи на прискорення її центра мас дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Доведення

Нехай система складається з $N$ матеріальних точок з масами $m_{i}$ і радіус-векторами ${\vec {r}}_{i}$ . Як відомо, центром мас (центром інерції) системи матеріальних точок називається геометрична точка, радіус-вектор ${\vec {R}}_{c}$ якої задовольняє рівності

${\vec {R}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{M}},\qquad \qquad (1)$

де $M$ — маса всієї системи, що дорівнює $\sum \limits _{i}m_{i}.$

Диференціюючи (1) два рази за часом, для прискорення центра мас ${\vec {a}}_{c}$ отримуємо:

${\vec {a}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}},\qquad \qquad (2)$

де ${\vec {a}}_{i}$ — прискорення матеріальної точки з номером i.

Для подальшого розгляду доцільно розділити всі сили, що діють на тіла системи, на два типи:

• Зовнішні сили — сили, що діють з боку тіл, які не входять у дану систему. Рівнодійну зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером i, позначимо ${\vec {F}}_{i}$.
• Внутрішні сили — сили, з якими взаємодіють тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером i діє точка з номером k, будемо позначати ${\vec {f}}_{i,k}$. Відповідно, сила впливу i-ї точки на k-ту точку буде позначатися ${\vec {f}}_{k,i}$. Зі сказаного очевидно, що якщо $i=k$, то ${\vec {f}}_{i,k}=0.$

Використовуючи введені позначення, другий закон Ньютона для кожної з розглянутих матеріальних точок можна записати у вигляді

$m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad (3)$

Підсумовуючи всі рівняння вигляду (3), отримаємо:

$\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad (4)$

Вираз $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}$ являє собою суму всіх внутрішніх сил, що діють у системі. Врахуємо тепер, що за третім законом Ньютона в цій сумі кожній силі ${\vec {f}}_{i,k}$ відповідає сила ${\vec {f}}_{k,i}$ така, що ${\vec {f}}_{i,k}=-{\vec {f}}_{k,i}$ і, отже, виконується ${\vec {f}}_{i,k}+{\vec {f}}_{k,i}=0.$ Оскільки вся сума складається з таких пар, то й сама сума дорівнює нулю. Таким чином, з (4) слідує

$\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.\qquad \qquad (5)$

Далі, позначивши $\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}={\vec {F}}$ і підставивши отриманий вираз у (2), приходимо до рівняння

${\vec {a}}_{c}={\frac {\vec {F}}{M}}$ або до $M{\vec {a}}_{c}={\vec {F}}.\qquad \qquad (6)$

Таким чином, рух центра мас визначається тільки зовнішніми силами, а внутрішні сили ніякого впливу на цей рух не мають. Формула (6) є математичним виразом теореми про рух центра мас системи.

Інше формулювання теореми

Звернемо увагу на те, що вигляд формули (6) збігається з виглядом формули другого закону Ньютона. Звідси випливає справедливість такого формулювання теореми про рух центра мас:

Центр мас рухається так, як рухалася б матеріальна точка, маса якої дорівнює масі системи, під дією сили, яка дорівнює сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Закон збереження руху центра мас

З (6) випливає, що за відсутності зовнішніх сил, а також за рівності суми всіх зовнішніх сил нулю, прискорення центра мас дорівнює нулю, і, отже, його швидкість постійна. Таким чином, справедливим є твердження, що становить зміст закону збереження руху центру мас:

Якщо сума зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то центр мас такої системи рухається зі сталою швидкістю, тобто рівномірно і прямолінійно.

Зокрема, якщо спочатку центр мас перебував у спокої, то в зазначених умовах він перебуватиме в спокої й надалі.

Із закону збереження руху центра мас випливає, що система відліку, пов'язана з центром мас замкнутої системи, є інерціальною. Під час вивчення механічних властивостей замкнутих систем надається перевага використанню саме таких систем відліку, оскільки таким чином виключається з розгляду рівномірний і прямолінійний рух системи як цілого.

Можливі випадки, коли сума зовнішніх сил нулю не дорівнює, але дорівнює нулю її проєкція на певний напрямок. В цьому випадку проєкція прискорення центра мас на цей напрямок також дорівнює нулю і, відповідно, швидкість центра мас уздовж цього напрямку не змінюється.

Значення

Доведена теорема розширює і обґрунтовує можливості використання поняття матеріальна точка для опису руху тіл. Дійсно, якщо тіло рухається поступально, то його рух повністю визначається рухом центра мас, який у свою чергу описується рівнянням (6). Таким чином, тіло, що рухається поступально, завжди можна розглядати як матеріальну точку з масою, що дорівнює масі тіла, незалежно від його геометричних розмірів. Крім того, тіло можна розглядати як матеріальну точку й у всіх тих випадках, коли, в силу умови задачі, обертання тіла інтересу не являє, а для визначення положення тіла достатньо знати положення його центра мас.

Практична цінність теореми полягає в тому, що при розв'язуванні задачі про визначення характеру руху центра мас вона дозволяє повністю виключити з розгляду всі внутрішні сили.

Історія

Закон збереження руху центра мас сформулював Ісаак Ньютон у своїй знаменитій праці «Математичні начала натуральної філософії», виданій 1687 року. І. Ньютон писав: «Центр ваги системи двох або декількох тіл від взаємної дії тіл одного на інше не змінює ні свого стану спокою, ні руху; тому центр ваги системи всіх тіл, що діють одне на одне (за відсутності зовнішніх дій і перешкод) або знаходиться в спокої, або рухається рівномірно і прямолінійно». Далі він робив висновок: «Таким чином, поступальну кількість руху чи окремого тіла, чи системи тіл, треба завжди розраховувати за рухом центра ваги їх».

Див. також

• Теорема про кінетичну енергію системи
• Теорема про зміну кількості руху системи