Центр інерції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Це́нтр іне́рції або центр мас системи матеріальних точок масою із радіус-векторами визначається як

.

У випадку суцільного тіла із густиною

Система центру мас[ред.ред. код]

Зручність введення поняття центру інерції в тому, що рівняння руху для нього в багатьох випадках можна відокремити від рівнянь руху складових системи матеріальних точок відносно цього центру. Наприклад, центр руху замкненої системи матеріальних часток рухається у інерційній системі координат рівномірно й прямолінійно. В такому випадку зручно перейти до системи центру мас, тобто зв'язати початок системи координат з центром інерції і розглядати лише відносний рух часток, які входять в систему.

Схожа ситуація виникає тоді, коли система незамкнена, але сили, які діють на матеріальні точки пропорційні їхнім масам. Таку властивість мають сили тяжінння. В такому випадку центр інерції рухається з прискоренням, яке визначається відношенням сумарної сили до повної маси системи часток. Систему матеріальних часток можна розглядати, як одну матеріальну частку із масою, яка дорівнює сумарній масі усіх часток, розташовану в центрі інерції.

Рух твердого тіла довільної форми можна розділити на поступальний рух центру мас та обертальний рух відносно цього центру.

Балансування[ред.ред. код]

В умовах земного тяжіння центр мас тіла збігається із його центром ваги. Тіло складної форми на плоскій поверхні перебуває в рівновазі, якщо лінія, проведена вертикально через центр мас, проходить через площу опори.

Центри мас плоских однорідних фігур[ред.ред. код]

Координати центру мас однорідної плоскої фігури можна обчислити за формулами (наслідок з теорем Паппа — Гульдіна):

і , де — обсяг тіла, отриманого обертанням фігури навколо відповідної осі, — площа фігури.

Центри мас периметрів однорідних фігур[ред.ред. код]

  • Центр мас сторін трикутника знаходиться в центрі вписаного кола додаткового трикутника (трикутника з вершинами, розташованими в серединах сторін даного трикутника). Цю точку називають центром Шпикера. Це означає те, що якщо сторони трикутника зробити з тонкого дроту однакового перетину, то центр мас (баріцентр) отриманої системи буде збігатися з центром вписаного кола додаткового трикутника або з центром Шпікера.

У механіці[ред.ред. код]

Поняття центру мас широко використовується у фізиці, зокрема, в механіці.

Рух твердого тіла можна розглядати як суперпозицію руху центру мас і обертального руху тіла навколо його центру мас. Центр мас при цьому рухається так само, як рухалося б тіло з такою ж масою, але нескінченно малими розмірами (матеріальна точка). Останнє означає, зокрема, що для опису цього руху застосовні всі закони Ньютона. У багатьох випадках можна взагалі не враховувати розміри і форму тіла і розглядати тільки рух його центру мас.

Часто буває зручно розглядати рух замкнутої системи в системі відліку, пов'язаної з центром мас. Така система відліку називається системою центра мас (Ц-система), або системою центра інерції. У ній повний імпульс замкнутої системи завжди залишається рівним нулю, що дозволяє спростити рівняння її руху.

Центр мас в релятивістській механіці[ред.ред. код]

У разі високих швидкостей (близько швидкості світла) (наприклад, у фізиці елементарних частинок) для опису динаміки системи застосовується апарат СТВ.У релятивістській механіці (СТВ) поняття центра мас і системи центра мас також є найважливішими поняттями, однак, визначення поняття змінюється:

де  — радіус-вектор центра мас,  — радіус-вектор i-ої частинки системи,  — повна енергія i-ої частинки.

Дане визначення відноситься тільки до систем невзаємодіючих частинок. У разі взаємодіючих частинок в визначення повинні в явному вигляді враховуватися імпульс і енергія поля, створюваного частинками[1].

Щоб уникнути помилок слід розуміти, що в СТВ центр мас характеризується не розподілом маси, а розподілом енергії. У курсі теоретичної фізики Ландау і Ліфшиця перевага віддається терміну «центр інерції». У західній літературі по елементарних частинок застосовується термін «центр мас» (англ. center-of-mass): обидва терміни еквівалентні.

Швидкість центру мас в релятивістській механіці можна знайти за формулою:

Центр ваги[ред.ред. код]

Центр мас тіла не слід плутати з центром тяжкості.

Центром ваги механічної системи називається точка, відносно якої сумарний момент сил ваги (діючих на систему) дорівнює нулю. Наприклад, в системі, що складається з двох однакових мас, з'єднаних непохитним стрижнем, і вміщеній в неоднорідне гравітаційне поле (наприклад, планети), центр мас буде перебувати в середині стрижня, в той час як центр ваги системи буде зміщений до того кінця стрижня, який знаходиться ближче до планети (бо вага маси P = m·g залежить від параметра гравітаційного поля g), і, взагалі кажучи, навіть розташований поза стержня.

В однорідному гравітаційному полі центр ваги завжди збігається з центром мас. У некосмічних завданнях гравітаційне поле зазвичай може вважатися постійним в межах обсягу тіла, тому на практиці ці два центри майже збігаються.

З цієї ж причини поняття центр мас і центр ваги збігаються при використанні цих термінів у геометрії, статики і тому подібних областях, де застосування його в порівнянні з фізикою можна назвати метафоричним і де неявно передбачається ситуація їх еквівалентності (оскільки реального гравітаційного поля немає, то і облік його неоднорідності не має сенсу). У цих цілях традиційно обидва терміни синонімічні, і нерідко другий надається перевага просто в силу того, що він старіший.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • А. М. Федорченко (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.