Теорема про симплектичного верблюда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема про симплектичного верблюда — одна з основних теорем в симплектичній геометрії[1]. Теорема говорить, що кулю можливо вкласти в циліндр, зберігаючи природну симплектичну форму, тільки якщо радіус кулі не перевищує радіуса циліндра.

Історія

[ред. | ред. код]

Доведено в 1985 році Михайлом Громовим[2]. Ян Стюарт назвав цю теорему теоремою про симплектичного верблюда, посилаючись на біблійну притчу Лк. 18:25 верблюдові легше пройти через голчине вушко, ніж багатому в Боже Царство ввійти[3].

До появи цієї теореми було дуже мало відомо про геометрію симплектичних перетворень. Одна проста властивість симплектоморфізма полягає в тому, що він зберігає об'єм[4]. Легко бачити, що куля будь-якого радіусу допускає вкладення в циліндр будь-якого радіусу зі збереженням об'єму. Таким чином, теорема про верблюда каже, що клас симплектичних перетворень істотно менше класу дифеоморфізмів, що зберігають об'єм.

Формулювання

[ред. | ред. код]

У просторі

з симплектичною формою

розглянемо кулю радіуса R

і циліндр радіуса r

Теорема про симплектичного верблюда каже, що якщо ми можемо знайти симплектичне вкладення

то .

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Tao, Terence (2006), Nonlinear Dispersive Equations: Local and Global Analysis, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, т. 106, American Mathematical Society, с. 219, MR 2233925, This theorem is especially surprising in light of Darboux' theorem ... It is a result of fundamental importance in symplectic geometry
  2. Gromov, M. L. (1985). Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds. Inventiones Mathematicae. 82: 307—347. Bibcode:1985InMat..82..307G. doi:10.1007/BF01388806.
  3. Stewart, I.: The symplectic camel, Nature 329(6134), 17-18 (1987), DOI:10.1038/329017a0.
  4. D. McDuff and D. SalamonIntroduction to Symplectic Topology, Cambridge University Press (1996), ISBN 978-0-19-850451-1.

Джерела

[ред. | ред. код]