Формула Біне — Коші

Формула Біне — Коші — теорема про визначник добутку прямокутних матриць (при умові, що добуток є квадратною матрицею).

Добуток прямокутних матриць $\ A$ та $\ B$ є квадратною матрицею розміру $\ m$, якщо $\ A$ має $\ n$ стовпців та $\ m$ рядків, а $\ B$ — навпаки.

Мінори матриць $\ A$ та $\ B$ порядку рівного меншому з чисел $\ n$ та $\ m$ називаються відповідними один одному, якщо номера стовпців в матриці $\ A$ однакові з номерами рядків в матриці $\ B$.

Теорема

Визначник матриці $AB\,$ рівний нулю, якщо $\ n<m$, або дорівнює сумі попарних добутків відповідних мінорів порядку $\ m$, якщо $n\geqslant m$ (сумма береться по всім наборам стовпців матриці $\ A$ та рядків матриці $\ B$ зі зростаючими номерами $\ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{m}$).

Приклад

Нехай

$A=\left({\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{n}\\\end{matrix}}\right),\quad B=\left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\vdots &\vdots \\a_{n}&b_{n}\\\end{matrix}}\right).$

Тоді

$A\,B=\left({\begin{matrix}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}&a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}\\a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}&b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}\\\end{matrix}}\right),$

і відповідні мінори мають вигляд

$\left|{\begin{matrix}a_{i}&b_{i}\\a_{j}&b_{j}\\\end{matrix}}\right|$

для всіх $i<j$, від $1$ до $n$.

Формула Біне — Коші в даному прикладі дає рівність

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}=\sum _{i<j}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2},$

із якої (у випадку дійсних чисел) випливає нерівність Коші — Буняковського:

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})\geqslant (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}.$

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Ланкастер П.. Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)