Циклотронна маса

Циклотронна маса — узагальнена маса (спільна для всього твердого тіла) носіїв струму при їх русі в магнітному полі. В загальному випадку ця маса не збігається з ефективною масою носіїв, оскільки поверхня Фермі може бути анізотропною, а ефективна маса є тензором. Циклотронну масу вимірюють за допомогою методу циклотронного резонансу або магнітотранспортних методів (ефект Шубникова — де Гааза). Знання циклотронної маси інколи допомагає визначити форму поверхні Фермі в твердому тілі.

Тривимірний випадок

Поверхня Фермі тривимірного кристала, наприклад кремнію, котрий є непрямозонним напівпровідником, складається з шести еліпсоїдів обертання в k-просторі. Розглянемо переріз поверхні Фермі площиною XZ такий, що в цій площині будуть знаходитися 4 витягнуті еліпси з центрами розташованими на осях на віддалі $k_{0}$. Нехай вектор магнітного поля $\mathbf {B}$ лежить в цій площині та створює кут $\theta$ з віссю Z. Анізотропний закон дисперсії для електронів має вигляд:

$\varepsilon ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{m_{t}}}+{\frac {(k_{z}-k_{0})^{2}}{m_{l}}}\right),$

де введені дві різні ефективні маси $m_{t}$, $m_{l}$, які називаються відповідно повздовжною та поперечною ефективними масами. Рівняння руху частки (другий закон Ньютона) із зарядом «-e» в магнітному полі $\mathbf {B}$ при відсутності затухання

$\hbar {\frac {d\mathbf {k} }{dt}}=-e\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,$

де $\mathbf {k}$ — хвильовий вектор, а швидкість частки $\mathbf {v}$ визначається виразом:

$\mathbf {v} ={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}\varepsilon =\left({\frac {\hbar k_{x}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar k_{y}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar (k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\right).$

Тепер розглянемо покомпонентно закон руху:

$\hbar {\frac {dk_{x}}{dt}}=-{\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\cos {\theta },$

$\hbar {\frac {dk_{y}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{x}}{m_{t}}}\cos {\theta }-{\frac {e\hbar B(k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\sin {\theta },$

$\hbar {\frac {dk_{z}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\sin {\theta }.$

Нас буде цікавити тільки розв'язки виду:

$k_{x}=k_{1}e^{i\omega t},\,k_{y}=k_{2}e^{i\omega t},\,k_{z}=k_{0}+k_{3}e^{i\omega t}.$

Цей розв'язок існує при певній частоті, котра називається циклотронною, котра залежить від кута:

$\omega _{c}=eB\left({\frac {\sin ^{2}{\theta }}{m_{l}m_{t}}}+{\frac {\cos ^{2}{\theta }}{m_{t}^{2}}}\right)^{1/2}.$

Тут можна визначити циклотронну масу як

$m_{c}=|e|B/\omega _{c}.$

Видно, що при $\theta =0$, то $m_{c}=m_{t}$, а якщо $\theta =\pi /2$: $m_{c}={\sqrt {m_{l}m_{t}}}$.

Загальний випадок тривимірного простору

В загальному випадку для довільної поверхні Фермі, наприклад в металах поверхня Фермі може приймати складну форму і тому необхідно використовувати наступну формулу для циклотронної частоти

$\omega _{c}={\frac {2\pi |e|B}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{(\partial S/\partial \varepsilon _{F})}}$

та циклотронної маси:

$m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}{\frac {\partial S}{\partial \varepsilon _{F}}},$ (1)

де $S(\varepsilon _{F},k_{H})$ — площа перетину  поверхні Фермі  площиною ${k_{H}}=const$, де $k_{H}$ — проєкція хвильового вектора електрону на напрямок магнітного поля, $\varepsilon _{F}$ — енергія Фермі.

Випадок параболічної зони

Для найпростішої ізотропної параболічної зони енергію $\varepsilon$ та площу перетину $S$ можна представити у вигляді наступних функцій :

$\varepsilon ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\$,

${S}\left(\varepsilon _{F},{{k}_{H}}\right)=\pi k_{\bot }^{2}=\pi \left({\frac {2{{m}^{*}}\varepsilon _{F}}{{\hbar }^{2}}}-k_{H}^{2}\right)$,

де ${{k}_{\bot }}$- величина компоненти хвильового вектора, що перпендикулярна магнітному полю, $m^{*}$- ефективна маса. В цьому випадку похідна площини від енергії буде мати найпростіший вигляд :

${\frac {\partial {S}}{\partial \varepsilon _{F}}}={\frac {2\pi {{m}^{*}}}{{\hbar }^{2}}}$.

Підставляючи отримані значення для похідної в формулу для циклотронної маси, знаходимо:

$m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {\partial S}{\partial \varepsilon _{F}}}=m^{*}$.

Таким чином, у випадку простої ізотропної параболічної зони ми будемо мати тотожність фізичних величин — «циклотронної маси» та «ефективної маси». Дана обставина і дозволяє в більшості випадків вимірювати ефективну масу носіїв у твердому тілі.

Циклотронна маса графену

Двовимірний закон дисперсії графену поблизу точок Дірака задається рівнянням

$\varepsilon =\pm \hbar v_{F}k,$

де $\varepsilon$ — енергія збудження, $v_{F}$ — швидкість Фермі, $k$ — абсолютна величина двовимірного хвильового вектора.

Розглянемо легований графен зі щільністю носіїв на одиницю площі, $n_{s}$ , при досить низькій температурі так, що електрони утворюють вироджене Фермі море. Тоді можна визначити «поверхню Фермі» (2D лінія — коло $\varepsilon =\varepsilon _{F}$). Після врахування спінових і долинних вироджень, відповідний хвильовий вектор Фермі $k_{F}$ дорівнює

${{k}_{F}}={\frac {{\left(\pi {{n}_{s}}\right)}^{1/2}}{2\pi }}$.

Тепер можна визначити «ефективну масу» $m^{*}$ звичайним способом (імпульс поділений на швидкість):

${{m}^{*}}={\frac {\hbar {{k}_{F}}}{{v}_{F}}}\sim n_{s}^{1/2}$.

Для того, щоб визначити циклотронну масу, у квазікласичному наближенні можна використати рівняння (1), в яке слід підставити, $S(\varepsilon )$, площу $k$- простору, що оточена орбітою енергії ε

$S\left(\varepsilon \right)=\pi {{k}^{2}}\left(\varepsilon \right)={\frac {\pi {{\varepsilon }^{2}}}{{{\hbar }^{2}}v_{F}^{2}}}$,

звідки знаходимо, що $m_{c}=m^{*}$.

Енергетичний спектр 2D електронних систем у магнітному полі B, нормального до площини, є послідовність дискретних рівній Ландау. Використовуючи квазікласичне наближення квантування площі орбіти в оберненому просторі (квантування Бора-Зомерфельда),

$S\left({{\varepsilon }_{N}}\right)=\pi k^{2}\left({{\varepsilon }_{N}}\right)={\frac {2\pi \left|e\right|BN}{\hbar }},\quad N=0,\pm 1,...$ ,

ми знайдемо рівні Ландау в графені

${{\varepsilon }_{N}}=\pm {\sqrt {2\left|e\right|\hbar v_{F}^{2}B\left|N\right|}}$. (2)

Якщо при $\varepsilon _{N}=\varepsilon _{F}$ переписати рівняння (2), як ${{\varepsilon }_{F}}=\hbar \omega _{c}^{\left(N\right)}{\sqrt {\left|N\right|}}$, то формула для «циклотронної частоти» має вигляд:

$\omega _{c}^{\left(N\right)}={{v}_{F}}{\sqrt {\frac {2\left|e\right|{{B}_{N}}}{\hbar }}}$,

де $B_{N}$- магнітне поле, що відповідає $N$-му рівню Ландау, що збігатися з рівнем Фермі.

Циклотронна швидкість^{[джерело?]}

В загальному випадку циклотрона швидкість записується в наступному вигляді:

$v_{c}=\omega _{c}\cdot r_{c}=eB\cdot {\frac {r_{c}}{m_{c}}}\$,

де у випадку традиційних тривимірних напівпровідників циклотронний радіус та маса визначаються як:

$r_{c}(Si)={\sqrt {2}}l_{B}\$, $m_{c}(Si)=const.\$,

а у випадку двовимірного графена:

$r_{c}(Si)={\frac {l_{B}}{\sqrt {2}}}\$, $m_{c}(C)=variable\$,

де $l_{B}={\sqrt {\frac {\hbar }{eB}}}\$- магнітна довжина. Таким чином, в звичайному тривимірному напівпровіднику, в якому виконується умова постійної ефективної маси, ми будемо мати змінне значення для циклотронної швидкості (наприклад, в КЕХ):

$v_{c}(Si)={\sqrt {2}}\omega _{c}l_{B}=variable\$.

Інша справа — двовимірний графен. Оскільки ефективна маса його носіїв змінюється, то його циклотрона швидкість завжди постійна:

$v_{c}(C)={\frac {\omega _{c}l_{B}}{\sqrt {2}}}v_{B}=const.\$

Використавши це, ми можемо через неї визначити і циклотронну частоту:

$\omega _{c}(C)={\sqrt {2}}{\frac {v_{B}}{l_{B}}}$

та циклотронну масу:

$m_{c}(C)=eB\cdot {\frac {r_{c}(C)}{v_{c}(C)}}={\frac {1}{v_{B}}}{\sqrt {\frac {eB\hbar }{2}}}$.

Таким чином, за межами розгляду елементів зонної структури та циклотронної маси, лишилась постійна швидкість $v_{B}$. Звідки вона взялася, і який її масштаб?

Експериментальне обґрунтування постійності циклотронної швидкості в графені

Найточніше значення постійної швидкості носіїв струму в графені було знайдено Діаконом та інш. в експериментах по відгуку фотопровідності на взірцях графена з декількома рівнями Ландау.

Це експериментальне значення швидкості для різних рівней Ландау знаходилося в діапазоні значень:

$v_{B.exp}=(1.069-1.118)\cdot 10^{6}m/s$.

Не важко помітити, що посередині цього діапазону знаходиться єдина фізична величина швидкості, яка називається борівською, оскільки визначає швидкість циклічного руху електрону на першій борівській орбіті атома Бора:

$v_{B}={\frac {\alpha c}{2}}=1.0938453\cdot 10^{6}m/s$.

На сьогодні рівність цих швидкостей

$v_{B}=v_{B.exp}\$

виконується з точністю до двох процентів:

$\Delta =\pm 2.2\%\$.

Безумовно надалі точність зросте, проте на скільки, поки що не відомо.

Див. також

• Циклотронний резонанс

Література

Hook J. R., Hall H. E. Solid State Physics. — 2-nd ed. — Chichester : John Wiley & Sons, 1997. — С. 158-159. — ISBN 0-471-92805-4.

Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. — Москва : Мир, 1986. — С. 63-64. — ISBN УДК 537.33+535.2.

Посилання

• Физическая энциклопедия, т.5 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.429