Тензор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Те́нзор (від лат. tendere, «тягнутись, простиратися») — математичний об'єкт, що узагальнює такі поняття як скаляр, вектор, ковектор, лінійний оператор і білінійна форма. Вивченням тензорів займається тензорне числення.

В деякому базисі тензор представляється у вигляді багатовимірної таблиці (число співмножників збігається з валентністю тензора), заповненої числами (компонентами тензора). При заміні базису компоненти тензора змінюються певним чином, при цьому сам тензор не залежить від вибору базису.

Означення[ред.ред. код]

Тензор рангу (m, n) над векторним простором V є елемент тензорного добутку m просторів V та n спряжених просторів V* (тобто просторів лінійних функціоналів (1-форм) на V)

Сума чисел m+n називається валентністю тензора. Тензор рангу (m, n) також називається m разів контраваріантним та n разів коваріантним.

Означення тензорного об'єкта[ред.ред. код]

Основною властивістю, і фактично означенням, тензора є закон перетворення його компонент при зміні системи координат:

де (взаємно обернені) матриці переходу є частинними похідними функцій, що задають нові координати відносно старих та навпаки:

Приклади[ред.ред. код]

Тензорні операції[ред.ред. код]

Тензори допускають такі унарні операції:

  • Множення на скаляр — виконується покомпонентно;
  • Згортка тензора — специфічна тензорна операція, що знижує ранг тензора.

і такі бінарні операції:

  • Додавання тензорів однакової валентності та складу індексів — виконується покомпонентно;
  • Множення тензорів — добутком тензора рангу (m,n) на тензор рангу (m',n') є тензор рангу (m+m',n+n'), тобто якщо і , то їх добуток

Тензор як мультилінійна функція[ред.ред. код]

Про тензор рангу (0, n) зручно думати як про функцію з , яка лінійна по кожному аргументу (такі функції називаються полілінійними), тобто

Також можна думати і про довільний тензор рангу (n, m), але в цьому випадку треба розглядати функцію

де

Компоненти тензора[ред.ред. код]

Компонентами (координатами) тензора в базисі віднесення є числа

де є базис в просторі , дуальний базису (тобто , де є символ Кронекера).

Індекси, що відносяться до просторів , зображають верхніми індексами і називають контраваріантними, а індекси, що відносяться до просторів , відповідно зображають знизу і називають коваріантними.

Симетрії[ред.ред. код]

В різного роду додатках часто виникають тензори з певною властивістю симетрії.

Симетричним по двох ко-(контра-)варіантних індексах називається тензор, який задовольняє такій вимозі:



або в компонентах



.

Аналогічно визначається коса симетрія (або антисиметричність):


або в компонентах



.

Симетрія або антисиметрія не обов'язково повинна охоплювати тільки сусідні індекси, вона може включати й індекси з різних місць тензора. Головною умовою є те, що симетрія або антисиметрія може відноситися тільки до індексів одного сорту: ко- або контраваріантних. Симетрії між ко- і контраваріантними індексами тензорів не мають сенсу, оскільки, навіть якщо вони спостерігаються в компонентах, то руйнуються при переході до іншого базису віднесення.

Ці визначення природним чином узагальнюються на випадок більш ніж двох індексів. При цьому при будь-якій перестановці індексів, по яких тензор є симетричним, його дія не змінюється, а при антисиметрії по індексах знак дії тензора змінюється на протилежний для непарних перестановок (що одержуються з початкового розташування індексів непарним числом транспозицій — перестановок двох індексів) і зберігається для парних.

Література[ред.ред. код]

М. А. Разумова, В. М. Хотяїнцев «Основи векторного і тензорного аналізу: навчальний посібник». – Київ: ВПЦ «Київський університет», 2011.--216с.

Див. також[ред.ред. код]