Енергія Фермі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Енергія Фермі — енергія найвищого заповненого одночастинкового стану в системі ферміонів при температурі абсолютного нуля.

Необхідно відзначити, що термін «енергія Фермі» досить часто помилково вживається в значенні «хімічний потенціал».[1] Значення хімічного потенціалу для системи ферміонів збігається з енергією Фермі тільки при температурі абсолютного нуля, проте відрізняються при вищих температурах.

Вступ[ред.ред. код]

Основна концепція[ред.ред. код]

При застосуванні квантової механіки до багаточастинкових систем популярна модель, в якій квантовий стан складної системи утворюється зі станів окремих частинок — одночастнинкове наближення (дивіться, наприклад, одноелектронне наближення). При цьому взаємодією між частинками нехтують, або вважають її врахованою при визначенні одночастинкових станів у наближенні середнього поля. У межах цієї моделі група часток або квазічасток, знана як ферміони (наприклад, електрони, протони та нейтрони є ферміони) підпорядковується принципу Паулі, який стверджує, що в одному квантовому стані можуть перебувати тільки ферміони з різним значенням спіну. Таких ферміонів 2S+1, де S — спінове квантове число, у випадку частинок зі спіном 1/2 кількість ферміонів в одному стані — 2.

Кожний одночастинковий стан позначається набором квантових чисел. У системі, що містить багато ферміонів (подібно до електронів у металах), кожний ферміон буде мати різний набір квантових чисел. Для визначення найнижчої енергії системи ферміонів, спершу необхідно згрупувати стани в набори з однаковою енергією та впорядкувати їх за зростанням енергії. Потім, розпочинаючи з порожньої системи, шляхом додавання часток, послідовно наповнюють незаповнені квантові стани з найменшими енергіями. Вичерпавши всі частки, отримують енергію найвищого заповненого стану і буде називатися енергією Фермі.

Це означає, що навіть якщо забрати всю можливу енергію з металу шляхом охолодження до абсолютного нуля температур (0 Кельвінів), електрони в металі все одно будуть рухатися далі; при чому найшвидші з них будуть мати швидкості, які відповідають кінетичній енергії, рівній енергії Фермі. Це і є швидкості Фермі. Енергія Фермі є однією з найважливіших концепцій у фізиці конденсованого стану. Вона використовується, наприклад, при опису металів, діелектриків та напівпровідників. Вона також відіграє ключову роль у фізиці надпровідників, у фізиці квантових рідин при температурах рідкого гелію (в обох випадках — нормальних та надплинних рідинах 3He). Вона також важлива в ядерній фізиці, в астрономії під час розгляду стабільності білих карликів в умовах гравітаційного колапсу.

Додаткові відомості[ред.ред. код]

Енергія Фермі (EF) системи невзаємодіючих ферміонів збільшує значення своєї енергії основного стану, коли навіть один електрон додається до системи. Вона може бути інтерпретована, як максимальна енергія індивідуального ферміона, що перебуває в основному стані. Хімічний потенціал при температурі абсолютного нуля рівний енергії Фермі.

Модельні системи[ред.ред. код]

Приклад використання концепції до одновимірної квадратної ями[ред.ред. код]

Одновимірна прямокутна яма — квантова модель для одновимірного потенціального ящика. Це одна із найпростіших задач квантової механіки, і тому її розв'язок для однієї частки відомий. Рівні енергії тут позначаються квантовими числами n, а енергії дорівнюють:

.

Припустимо, що замість однієї частки в потенціальному ящику, ми маємо N часток, і ці частки є ферміонами зі спіном 1/2. Тоді тільки дві частки можуть мати однакову енергію, тобто дві частки можуть мати енергію , дві частки можуть мати енергію і так далі. Причина, що дві частки можуть мати однакову енергію, полягає в тому, що частки з напівцілим спіном можуть мати спін 1/2 (спін вгору) або спін −1/2 (спін вниз), що приводить до формування двох станів для кожного рівня енергії. Щодо повної енергії системи, то вона є найнижчою (основний стан) при такій конфігурації, коли всі енергетичні рівні аж до n=N/2 є заповнені, а всі вищі рівні енергії — порожні. Тому енергія Фермі є:

.

Таким чином, значення енергії Фермі залежить від кількості частинок у системі. Цей висновок справедливий і для інших систем.

Тривимірний випадок[ред.ред. код]

У тривимірному ізотропний випадку заповнені стани утворюють в оберненому просторі так звану сферу Фермі.

Розглянемо тривимірний кубічний ящик, котрий має ребро довжини L (див. Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі). Цей підхід є доброю апроксимацією для опису електронів у металах, коли закон дисперсії електронних станів у валентній зоні металів близький до параболічного. Стани в цьому випадку позначаються квантовими числами nx, ny, and nz. Енергія однієї частки тут буде:

де nx, ny, nz — додатні цілі числа. Тут ми маємо вироджені стани із однаковою енергією . Тепер можна заповнити цей ящик невзаємодіючими ферміонами (N штук) зі спіном 1/2. Щоб обчислити енергію Фермі, припустимо що N дуже велике.

Якщо ввести вектор , тоді кожний квантовий стан відповідає певній точці в 'n-просторі' з енергією Фермі:

Число станів з енергією меншою ніж Ef, дорівнює числу станів, котрі лежать всередині сфери радіуса в області n-простору, де nx, ny, nz є додатні цілі числа. В основному стані загальна кількість таких чисел із врахуванням проекцій спіна дорівнює числу ферміонів у системі.

Вільні ферміони, що заповнюють найнижчі енергетичні стани, формують сферу в просторі імпульсів. Поверхня цієї сфери і є поверхня Фермі.

тут «двійка» враховує наявність двох спінових станів; коефіцієнт 1/8 враховує те, що тільки 1/8 частина сфери лежить в області, де всі n додатні.

Знаходимо:

тому енергія Фермі буде:

,

яке можна переписати у вигляді співвідношення між енергією Фермі та числом часток на одиницю об"єму (при заміні L2 на V2/3):

Повна енергія сфери Фермі при наявності ферміонів буде:

Повна енергія Фермі:

Інтегрування шляхом заміни змінних дає:

Перехід від до дає:

Похідні терміни[ред.ред. код]

Рівень Фермі є найвищий рівень заповнений рівень енергії при абсолютному нулі, так що всі нижні рівні енергії — зайняті електронами, а всі верхні рівні енергії порожні. Оскільки ферміони не можуть співіснувати при ідентичних енергіях (див. Принцип Паулі), при абсолютному нулі температур, тому електрони упаковуються на станах із найнижчою енергією і формують т.з. «море Фермі» електронних енергетичних станів. [1]

У випадку параболічного закону дисперсії у цьому стані (при 0 K), середня енергія електрона задається виразом:

де  — енергія Фермі.

Імпульс Фермі — імпульс ферміона на поверхні Фермі. Імпульс Фермі задається виразом:

де  — ефективна маса електрона.

Швидкість Фермі — це швидкість ферміонів на поверхні Фермі. Вона визначається як:

,

Поняття імпульсу Фермі і швидкості Фермі використовується у випадку дисперсійних співвідношень між енергією та імпульсом, що не залежать від напряму. В загальнішому випадку ці величини визначені неоднозначно, тому необхідно обмежитися використанням поняття «енергії Фермі».

Можна також ввести поняття температури Фермі, що враховує квантові ефекти при охолодженні. Температура Фермі визначається як:

де k — константа Больцмана.

Типові енергії Фермі[ред.ред. код]

Тверде тіло[ред.ред. код]

Енергія Фермі твердотільних систем залежить від структури одноелектронних енергетичних рівнів у цих системах, у випадку кристалів — від зонної структури. У випадку напівпровідників та діелектриків в основному стані цих кристалів валентна зона повністю заповнена, тому енергія Фермі збігається з верхом валентної зони. В напівпровідниках із акцепторами енергія Фермі збігається з акцепторним рівнем. Для багатьох металів, валентна зона яких заповнена не повністю, справедлива описана вище модель сфери Фермі. Для інших металів, і особливо напівметалів розрахунок енергії Фермі вимагає точного знання зонної структури. У цьому випадку поверхня Фермі дуже далека від сферичної.

Білі карлики[ред.ред. код]

Зорі, знані як білі карлики, мають масу, співмірну з масою нашого Сонця, проте їхній радіус майже в 100 разів менше. Висока густина означає, що електрони вже не є зв'язані з одиничними ядрами, а формують вироджений електронний газ. Густина електронів у білих карликах складає величину порядка 1036 м−3. А це означає, що енергія Фермі тут буде:

еВ.

Ядра[ред.ред. код]

Іншим типовим прикладом використання концепції є частки в ядрі атома. Радіус ядра можна грубо оцінити як:

де A — число нуклонів.

Тому густина нуклонів в ядрі буде:

м−3

Оскільки енергія Фермі прикладається тільки для нуклонів одного типу, тому її необхідно зменшити вдвічі. Це тому, що присутність нейтронів не впливає на енергію Фермі протонів в ядрі, і навпаки.

Тому енергія Фермі для ядра наближено:

30 × 106 еВ = 30 МеВ

Радіус ядра дозволяють відхилення від вказаного значення, тому типові значення енергії Фермі — близько 38 МеВ.

Заповнені і незаповнені орбіталі[ред.ред. код]

В рамках квантової механіки ферміони — частки з напівцілим спіном, як правило 1/2, такі як електрони, що підкоряються принципу Паулі, тому на кожному енергетичному рівні може знаходитися тільки два електрони. Очевидно, що ферміони підкоряються статистиці Фермі — Дірака. Основний стан невзаємодіючих ферміонів системи формується шляхом поступового заповнення порожніх енергетичних рівнів аж до рівня Фермі. Коли найвищий енергетичний рівень буде заповнений (рівень Фермі), тоді енергія Фермі є енергією найвищої заповненої молекулярної орбіталі (НЗМО). У випадку провідних матеріалів це значення збігається із значенням енергії найнижчих незаповнених орбіталей (ННМО). Проте структура енергетичних рівнів більшості матеріалів (діелектриків і напівпровідників) така, що між ННМО та НЗМО існує проміжок енергії, заборонена зона, в якому нема енергетичних станів. Цей проміжок може мати ширину до 5-6 еВ.

Вільний електронний газ[ред.ред. код]

У вільному електронному газі, квантовомеханічній версії ідеального газу, квантові стани можуть бути позначені за їхніми імпульсами. Аналогічно, для періодичної системи, такої як електронний газ у періодичній кристалічній ґратці металу, можна ввести поняття квазі-імпульс (див. хвилі Блоха). В будь-якому випадку, енергія Фермі розміщується у просторі імпульсів на поверхні, яку називають поверхнею Фермі. Для вільного електронного газу поверхня Фермі має вигляд сфери; для періодичної системи, вона має загалом складну форму (див. зони Брілюена). Об'єм оберненого простору під поверхнею Фермі визначає число електронів у системі, а топологія поверхні Фермі визначає транспортні властивості металів, такі як електрична провідність. Дисципліна, що вивчає поверхню Фермі часто називають ферміологією. Поверхні Фермі більшості металів добре досліджені, як на теоретичному, так і на практичному рівнях.

При параболічному законі дисперсії хімічний потенціал вільного газу електронів пов'язаний з енергією Фермі співвідношенням:

де EF — енергія Фермі, k — константа БольцманаT — температура. Звідси випливає, що хімічний потенціал приблизно дорівнює енргії Фермі при температурах, значно менших від характеристичної температури Фермі EF/k. Характеристична температура є величина порядка 105 K для металів, тому при кімнатних температурах (300 K) енергія Фермі та хімічний потенціал приблизно однакові. Це важливо, оскільки саме хімічний потенціал, а не енергія Фермі, використовується в статистиці Фермі-Дірака.

Різниця між значенням хімічного потенціалу і енергією Фермі визначає ступінь виродження електронного газу. У випадку, коли ці значення близькі, наприклад, для металів, електронний газ вироджений, тобто суттєво квантовий, у випадку, коли вони далекі (), наприклад, у власних і слаболегованих напівпровідниках, електронний газ невироджений, тобто близький за своїми властивостями до класичного.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Використання терміну «енергія Фермі» для хімічного потенціалу — поширене явище в численних монографіях та статтях з фізики напівпровідників. Так, наприклад, Жак Панков (Pankove), в Optical Processes in Semiconductors, ISBN 0-486-60275-3 (1971), стверджує: "Рівень Фермі є енергія, при якій ймовірність її заповнення електронами, рівна 0,5. (ст. 6)

Посилання[ред.ред. код]