Еквівалентність рядків

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У лінійній алгебрі дві матриці є еквівалентними за рядками, якщо одна з них може бути замінена на іншу послідовністю елементарних операцій над рядками. Навпаки, дві × матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків. Концепція найчастіше застосовується щодо матриць, які представляють системи лінійних рівнянь, і в цьому випадку дві матриці однакового розміру є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли відповідні однорідні системи мають однаковий набір розв'язків, або еквівалентно матриці мають однаковий нульовий простір.

Оскільки елементарні операції над рядками є оборотними, еквівалентність рядків є відношенням еквівалентності. Його зазвичай позначають тильдою (~).[1]

Існує аналогічне поняття еквівалентності стовпців, яке визначається елементарними операціями над стовпцями; дві матриці є еквівалентними за стовпцями тоді й лише тоді, коли відповідні транспоновані матриці є еквівалентними за рядками. Дві прямокутні матриці, які можуть бути перетворені одну на іншу, дозволяючи як елементарні операції над рядками, так і над стовпцями, називаються просто еквівалентними.

Елементарні операції з рядками

[ред. | ред. код]

Елементарне перетворення рядка — це будь-яка із наступних дій:

  1. Зміна місцями: поміняти місцями два рядки матриці.
  2. Масштаб: помножити рядок матриці на ненульову константу.
  3. Порядкове додавання: додати домножений на число один рядок матриці до іншого рядка.

Дві матриці і є еквівалентами за рядками, якщо можна перетворити матрицю на матрицю за допомогою послідовності елементарних операцій над рядками.

Простір рядків

[ред. | ред. код]

Простір рядків матриці — це множина всіх можливих лінійних комбінацій її вектор-рядків. Якщо рядки матриці являють собою систему лінійних рівнянь, тоді простір рядків складається з усіх лінійних рівнянь, які можна алгебраїчно вивести з рівнянь системи. Дві × матриці є еквівалентними рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків.

Наприклад, матриці

є еквівалентними за рядками, простір рядків — це всі вектори вигляду . Відповідні системи однорідних рівнянь містять ту ж саму інформацію:

Зокрема, з обох цих систем випливає рівняння вигляду .

Еквівалентність визначень

[ред. | ред. код]

Факт того, що дві матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків, є важливою теоремою лінійної алгебри. Доказ базується на таких спостереженнях:

  1. Елементарні операції над рядками не впливають на простір рядків матриці. Зокрема, будь-які дві еквівалентні за рядками матриці мають однаковий простір рядків.
  2. Будь-яку матрицю можна звести елементарними операціями над рядками до матриці у скороченій формі рядків.
  3. Дві матриці у скороченій формі рядків мають однаковий простір рядків тоді й лише тоді, коли вони рівні.

Цей алгоритм міркувань також доводить, що кожна матриця та унікальна матриця, зі скороченою формою ешелону рядка, є еквівалентними за рядками.

Додаткові властивості

[ред. | ред. код]

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Lay 2005, p. 21, Example 4
  2. Roman 2008, p. 9, Example 0.3

Література

[ред. | ред. код]
  • Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (вид. 2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
  • Lay, David C. (22 серпня 2005), Linear Algebra and Its Applications (вид. 3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
  • Meyer, Carl D. (15 лютого 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, архів оригіналу за 1 березня 2001
  • Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (вид. 2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
  • Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (вид. 9th), Wiley International
  • Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (вид. 7th), Pearson Prentice Hall
  • Roman, Steven (2008). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Т. 135 (вид. 3rd). Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-72828-5.